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2017年2月 8日 (水)

333333331は素数か:番外編

★福岡さんのコラムの後半に

ちなみに2017は素数。割り切れない。でも虚数を使うときれいに因数分解できます。2017=(44―9i)(44+9i)

こういう話がありました。

★複素数についてはまず、ガウス整数、という概念がまずあります。
z=a+bi において、aもbも整数の時、zはガウス整数、といいます。
b=0なら普通の整数になりますから、普通の整数もガウス整数の一部です。

↓ここから引用しますと
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E6%95%B4%E6%95%B0

ガウス素数
ガウス平面上のガウス素数。
・・・
・・・ガウス素数 z とは、約数として8個の自明な約数(±1, ±i, ±z, ±iz)しか持たないガウス整数のことである。さらに例を挙げると、13 = (3 + 2i)(3 − 2i) であるから、13 は(通常の意味で素数であるが)ガウス素数ではない。ガウス素数と区別するために、通常の素数は有理素数と呼ばれることもある。

これですね、福岡さんが言っておられる「2017」は。
2017は有理素数であるが、ガウス素数ではない、ということです。

★ガウス素数には面白い話がありまして、その分布が美しい。
Cmplxp
これ、大分以前に、私がエクセルのVBAを使って、シートをディスプレイにして作った、ガウス素数のパターンというものです。(エクセル・ファイルのタイムスタンプは2000/10/27になっていました。)
上のウィキペディアにも同様の図が掲載されています。比べてみてください。
そのキャプションに
「ガウス平面上のガウス素数。この模様は、床のタイル貼りやテーブルクロス織りに用いられることもある。」
とあります。そのことが有名なのです。

私の手元に昭和62年刊の
奥村晴彦著「コンピュータ アルゴリズム事典」という本がありますが、その本の52頁に「2次元のエラトステネスのふるい」という項目で、Pascalプログラムと、出力図が掲載されています。
同じ著者が、Cで書いた「アルゴリズム事典」というのもありまして、ここでは「ガウスの整数」という項目の中で同じ模様を描くCのプログラムが掲載されています。

このあたりを参考にして、私はエクセルVBAで描いてみたわけです。
散布図のようなグラフではなく、シートのセルを小さな正方形に縮めて、セルの色という形で描きましたので、プログラムが少々煩雑です。
今回、十進BAICに書きなおしてみました。
その実行結果はこれ↓
Complexprime
少し範囲を広げて描いてあります。
プログラムはこれ↓

! white = 0  black = 1
LET N = 50
SET WINDOW -N, N, -N, N
SET POINT STYLE 6

SET POINT COLOR 1
FOR i = -N TO N
   FOR j = -N TO N
      PLOT POINTS:i, j
   NEXT j
NEXT i

SET POINT COLOR 0      
For x = -1 To 1 Step 1
   For y = -1 To 1 Step 1
      IF x * y = 0 THEN
         PLOT POINTS : x, y
      END IF
   NEXT y
NEXT x

FOR a = 1 TO N STEP 1
   FOR b = 1 TO N STEP 1
      LET r = N / SQR(a * a + b * b)
      For c = -Int(r) To Int(r) Step 1
         FOR d = -INT(r) TO INT(r) STEP 1
            IF SQR(c * c + d * d) <= r THEN
               IF NOT ((c * d = 0) AND ((c = 1) OR (c = -1) OR (d = 1) OR (d = -1))) THEN
                  LET x = a * c - b * d
                  LET y = a * d + b * c
                  PLOT POINTS:x, y
               END IF
            End If
         Next d
      NEXT c
   Next b
Next a

END

実はもうちょっと踏み込みたいところがあるのですが、今回はここまで。

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