水平線までの距離

この図を見てください。
円は数学的な地球です。半径はＲ。
地球上の高さｈのところから見る水平線までの距離をＬとします。
すると、図中に書いたように
Ｌ＝√(2ｈＲ＋ｈ^2)
となります。
地球の半径をＲ＝６４００ｋｍとしますと、富士山のてっぺんでもｈ＝３．７ｋｍで、とても小さい。
その小さい項の２乗を無視すると近似式として
ＬＬ＝√(2ｈＲ)
が得られます。
無視なんかしていいのかな。

Ｒ＝１とおいて、ｈを小さくして行った時のＬとＬＬの差をＤＬとして求めてあります。
どうでしょう？ｈがＲの１０００分の１くらいになったら、差を無視してもいいのじゃないかな。
Ｒ＝６４００ｋｍなら、１０００分の１は６．４ｋｍ。
チョモランマだとどうだか。富士山なら近似式で充分という気がします。

地球の赤道半径は６３７８．１３７ｋｍ
地球の極半径は　６３５６．７５２ｋｍ
なのですが、以降の話はごく大雑把。
凸凹も無視して、地球を半径６４００ｋｍの完全な球体として扱うことにします。
測定値ではないので、有効数字はこの場合考えません。
身長２ｍの人が見る水平線までの距離は
ＬＬ＝√(2*0.002*6400)＝5.0596442562694069311982296710923≒5.1km
ということになります。

★さて、この近似式をもって、次の記事「富士山：２」へ行きましょう。