向こうへ行くには越えなきゃね

http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2016/08/post-7ef1.html
2016年8月29日 (月)「おそれ」「可能性」

↑ここで、８月２９日の時点で太平洋側にある台風が、３１日には日本海側にある、と予報しているのに「上陸の恐れがある」というのは変でしょ、と書きました。

これ、高校数学で習うはずの「中間値の定理」の、現実世界での具体化バージョンなんですよ。
↓中間値の定理
http://mathtrain.jp/tyukan

中間値の定理：a≤x≤b で連続な関数 f(x) を考える。 f(a) と f(b) の間にある任意の実数 k に対して，
f(c)=k となる c(a≤c≤b) が存在する。

グラフを書けば当たり前な定理です。日本語で言うならば「高さの違う2点を結ぶとき，その中間の高さを絶対に一回は横切る」ということになります。

このページに、わかりやすい図もありますので、図を見に行ってください。
この定理。ちゃんと証明しようとすると、高校のレベルではちょっときついのですが、直感的には自明。

これ、以前何か別の話で作ったグラフですが。再利用。
ｙ軸負の領域から、ｙ軸正の領域へ行こうと思ったら、どうやったってｘ軸を横切らなければなりませんよね。

この場合３回横切っています。
極小値や極大値がｘ軸に接するということ（重解の場合）はありますが、少なくとも１回は横切らざるを得ないのです。

これを当たり前だと感じる方は、台風の場合もご理解いただけるでしょう。
日本列島の太平洋側にいる台風が、何日か後に日本海に行くためには、どうしても日本列島を横切らないわけにはいかないのです。これって数学の話じゃないような気もする。日常生活の常識ではないでしょうか。

★参考
http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2015/01/post-7f11.html
2015年1月28日 (水)「√２ の話：その１５：√２の求め方。★ちょっと凝った考え方：その１「二分法」」
ここでこんなことを書いています。

√２はｆ(ｘ) ＝ ｘ^2 － ２　という曲線がｘ軸と交わる点の座標です。
√２の真値を挟むａとｂという区間を考えます。
実用上はａ＝０、ｂ＝２で構いません。
０＜√２＜２　ですので。
ａとｂが真値を挟んでいることはｆ(ａ)＊ｆ(ｂ)＜０でわかるわけですね。

これ、中間値の定理と明言しませんでしたが、使っています。
２項の積が負の場合、どちらかが正でどちらかが負です。
２項の積が正の場合、ともに正かともに負です。
プログラムでよく使う手なのです。

IF f(a, n)*f(c, n) < 0 THEN

プログラムのこのｉｆ文が具体的な表現です。
「f(a, n)*f(c, n) < 0 」が成立していたら、ａとｃの間で曲線がｘ軸と交わっているのです。

もし不成立の場合は

こうなので、今度はｃとｂの間で交わっている。

方程式の解をプログラムで求めるときなどには、この考え方は欠かせません。