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2016年7月12日 (火)

「算数チャチャチャ」:イチャモン・シリーズ1

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ここに@ニフティ・ニュースがあるのですが、私が普段は見ることの少ないゴシップ系などのニュースもありまして。このごろ、時々読んでます。
そうしたら、「算数チャチャチャ」という話題がありました↓

「NHKみんなのうた」聞いて文系絶叫 「算数チャチャチャ」の問題、難し過ぎる!
2016年6月23日(木)18時59分配信 J-CASTニュース
 軽快なチャチャのリズムで紹介される数式の問題。簡単な四則演算と思いきや、ルート(√)やシータ(θ)に阻まれ、とても「算数」の解法では解けない。「みんなのうた」(NHK)で放送されている「算数チャチャチャ」の歌詞が、「完全に数学」だと話題になっている。
 三角比や平方根、三角関数の問題文と解き方を伸びのある声で歌い上げたのは、あの人気歌手・ペギー葉山さん。40年以上も前に放送された曲がここにきて再登場し、ネットで盛り上がりを見せている。{「みんなのうた」で1973年に初登場}
 同曲はチャチャのリズムに合わせて、数式とその解き方を紹介するもの。1つ目は2+√2/√2+1を簡単にせよ、という設問だ。これは、分子の2+√2を√2(√2+1)に分解すると分母と分子を約分できるため、答えは√2になる。
 2つ目はsinθ=cosθ×√3のときsinθとcosθの値を求めよ、という設問。sinθ/cosθ=tanθなので、sinθ/cosθもtanθも√3になる。ここから、直角を挟む三角形の2辺a、bと斜辺cの長さがa:b:c=1:√3:2になり、三角比の定義に従うとsinθは√3/2、cosθは1/2となる。
 最後の3問目はy=cos(θ+π/2)のグラフを書け、というもの。これはお馴染み、三角関数の波状曲線となる。
・・・
ただ一般的に、ルートを含む平方根の計算は中学で、三角比の概念は高校で習う。そういう意味で2つの問題は完全に「数学」で、曲のタイトルのように「算数」ではない。
・・・

これは多分
https://www.youtube.com/watch?v=cGcnXTwj5es
↑ここで聞ける歌のことでしょうね。

ユーチューブにはペギー葉山さんバージョンもあって、それは2問で終わってました。
https://www.youtube.com/watch?v=rZVlkrNE0AU
↑これがペギー葉山さんのバージョン。

★さて、この歌の内容、まあ確かに算数ではないようですが。
そういう話じゃなくって、聞いていてずいぶんイライラさせられた。
で、イチャモン・シリーズを3回に分けて書きます。{予定}

今回は第一問について。
●イチャモン0
歌の話じゃなくって、報じている記事の話。
記事中で、「2+√2/√2+1」となっていますが。困ったことだ。
これを表記のまんま、通常の演算規則でやると、答えは「4」になりますよ。
演算子には優先順位の約束があります。掛け算・割り算が先。足し算・引き算が次。優先順位が等しい場合は左から。
その優先順位を変えたいときはカッコを使う。()で括られた部分が最優先になるんでしたね。
ですから。
(2+√2)/(√2+1)
こう表記してくださいな。
でないと、「√2/√2」を先に実行しなくてはいけない。で、1になる。次に「2+1+1」を左からおこなって4。ですね。

●イチャモン1
2=(√2)^2 として「2+√2 を √2(√2+1)に分解する」のだそうですが。
気持ち悪くないですか?というのと。
テクニカルに過ぎるでしょ。
というのが気になる。

(√2)^2=2 これは正しい。でも、(-√2)^2=2というのだってあるでしょ。
ダイジョウブですか? 2を(-√2)^2で置き換えて、くくって・・・
いえ、やってみれば大丈夫なんですけど、どっか、数学的に気持ち悪くないですか?
x^2 = 2 の時に、x=√2って答えると△がついてきませんか、テストで。
正解は、x=±√2 だよって。

で、2は√2の自乗だって、気づけばいいけど、気づかなかったらこの問題は解けないのか?
そういう感覚が数学を嫌いにさせるんじゃないかな。
そういう気づきが一方で面白い、ということはあります。数学が好きな人はそうなりやすい。
でも数学が苦手な人は、なんでそんなことに気付くの?と、数学を嫌いになる「つまづきの石」になりやすいんですよ。テクニカルな気づき、というやつは。

ここでの基本は、「分母の有理化」ですね。この考え方はどんなシーンでも使える。テクニカルな気づきは不要。
分母・分子に(√2-1)を掛ければいい。そうすると、分母は1になってしまうから、後は分子を整理すればちゃんと√2にたどり着きます。原理さえ知っていれば、特別なひらめきは不要です。

では、こういうひらめきはどうですか?
2+√2=1+1+√2
これで、分母の(√2+1)とキャンセルすれば
1+(1/(√2+1))になって、分母を有理化すれば、1+(√2-1)になり、答えは√2、ですね。
ひらめきではありますが、よりストレートなんじゃないかな。
いろんな考え方があっていいんです。なるべく原理的に行く方が楽ですよ。

★参考
https://www.nhk.or.jp/kokokoza/tv/suugaku1/archive/sugaku1_11.pdf

分母の有理化
 有理化することとは、無理数から有理数を作ることです。特に分数の場合、分母に√(ルート)を含む数を避ける約束になっています。この約束に基づいて、分母から√をなくすことを分母の有理化と言います。
 無理数の世界で、 たしたり( +)、ひいたり( −)、かけたり( ×)、わったり( ÷)を考えることがあります。この世界を考えるときには、分母に√をなくして考えるルールがあるのです。

「それがルールだ」といわれると嫌になる人もいるでしょうね。
↓ここでは、もうちょっと高度な考えを示しています。
http://mathtrain.jp/bunbo

★ちょっと視点を変えてみましょうか。
無理数というのは一般的に「a+b√c」の形になりますね。
ところが分母に無理数があると、それを「整理しきった時点」で無理数なのかどうか、直感的にはわからないでしょ。
分母を有理数にしてしまえば、複雑なこともあるかもしれませんが、形としては「a+b√c」に整理できますね。
だからそうしよう、なのです。

★もう一つ。

ゆうり‐すう【有理数】
〔数〕(rational number)二つの整数a、bによって a / b の形で表される数。
むり‐すう【無理数】
〔数〕(irrational number)有理数でない実数。
    広辞苑第六版より引用

です。
「無理」な数があるなんて、というのは数学嫌いの人が陥りやすい誤解、数学嫌いを作る元かもしれませんね。
{「虚」なる数は実在しないという人もいたりして。}
無理数は実は「無比数」なんです。
「比」=「ratio」からきているんですね。
私は中学校時代に「幾何」を基本から勉強した世代ですが、図形の長さの「比」が問題になることがよくありました。
「線分ABをAC:CA=m:nにない分する点C」などという書き方もあります。この方が普通ですね現在は。
「線分ABを、AC/CA=m/nに内分する」というような表現もよく使うんですよ。
これで、「線分ABを、AC対CA=m対nに内分する」と読むのです。意味ももちろんその通り。
つまり、分数が「比」の表現{「比の値」ともいいますが}なんですね。
分数は「数」であったり、「割合」であったり、その時々に意味が変化したりするので難しがられるのですけど。
「比」でもあるのです。
ですから、
「二つの整数a、bによって a / b の形で表される数」というのは「比」で表されているので「rational」なのです。
√2は「二つの整数a、bによって a / b の形で表される数」ではありませんから、「比」を否定して「irrational」なのです。{ピタゴラスにとってこれは衝撃的なことだったという逸話などをご存知の方も多いでしょう。}

無理数なら、「a / b」の形にはならないよ、と示しておく必要がありますね。
ですから、分母に無理数を置いておいたのではマズイので、分母を有理数にして、その上で分子が有理数になるのなら、その数は有理数です。分子に無理数が残るのなら、その数は無理数です。
こうすれば一目瞭然になりますね。

「分母の有理化」ということの感覚がお分かりいただけたでしょうか。
ここでのこの話、数学的な厳密さには欠けていますが、感覚的なザラツキがとれるといいな、と思います。

★リンク
http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2016/07/post-9179.html
2016年7月13日 (水)「算数チャチャチャ」:イチャモン・シリーズ2

http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2016/07/post-1c30.html
2016年7月15日 (金)「算数チャチャチャ」:イチャモン・シリーズ3

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