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2016年7月13日 (水)

「算数チャチャチャ」:イチャモン・シリーズ2

●イチャモン2:問2 について。

 2つ目はsinθ=cosθ×√3のときsinθとcosθの値を求めよ、という設問。sinθ/cosθ=tanθなので、sinθ/cosθもtanθも√3になる。ここから、直角を挟む三角形の2辺a、bと斜辺cの長さがa:b:c=1:√3:2になり、三角比の定義に従うとsinθは√3/2、cosθは1/2となる。

sinθ/cosθ=tanθ を覚えていれば確かにね、解説の通り、解けてしまう。
でも、もし「sinθ/cosθ=tanθ」を忘れてしまっていたらアウトなのでしょうか?
いえいえそんなことはない。三角比の定義さえ忘れていなければいいのです。
Sankakuhi
図の上の方から始めます。
sinとcosの定義を書き、sinθ=cosθ×√3 の関係に代入します。
するとc=√3×bになりますね。
ここで。あ、イケネ。cのほうがbより長いんだ!と図をそれらしく訂正します。
それが図の下半分。
c/b=√3ですが、これはc/b=√3/1 であって
c:b=√3:1の別の表現です。
そうすると、xが2であることは、ほぼ一目瞭然ですね。
{もちろん、ピタゴラスの定理で計算していいんですよ。ただ、正三角形の半分というのはあまりにも有名ですので。}
あとは「sinθとcosθの値を求めよ」も、一目瞭然ですね。

基本、定義、などが身についていれば、常にそこから出発して考えればいい、それが数学の特徴です。
2次方程式の解の公式、なんてのも有名なつまづきの石ですが、忘れたら、自分でその場で導きだせばいいだけのこと。
公式・公式と覚え込むのではなくて、公式が導出された過程の理解が大切です。
場面ごとに覚え込むなんて大変じゃないですか、楽な方がいいですよ。

★ところで「三角比」について付け足し
Sankaku_hi
AB/BCというのは分数の形で書かれた比です(AB:BC)。この比に対して「角αのサイン(sin)」あるいは「正弦」という名前を付けるのです。同じようにして
AC/BCという比(AC:BC)に「角αのコサイン(cos)」あるいは「余弦」という名前を付けます。
AB/CAという比(AB:CA)には「角αのタンジェント(tan)」あるいは「正接」という名前です。
比ですから、相似な三角形であれば、比の値はいつも同じ。名前を付けて呼んでもいいわけですね。

直角三角形において「角と『辺の比』」という対応関係が「三角比」ですね。
その対応関係に名前を付けたわけです。
名前に過度にこだわらないでください。名前というのは、識別のためのラベルに過ぎません。
名前の「意味」は定義だけ、という簡潔さに慣れれば、理数系の勉強は楽になりますよ。

★参考
Hassen
http://www.ndl.go.jp/math/s1/c8.html
和算の歴史
第5章 西洋数学の導入
三角関数表

高石友也さんの「受験生ブルース」
ひとよ ひとよに ひとみごろ
ふじさんろくに オームなく
サイン コサイン なんになる

これは不愉快な歌でした。
平方根を知るということには物のサイズや面積などの把握に大切なこと。
サイン・コサインは日本では江戸時代からもう使っていた実学ですよ。
伊能忠敬だって当然これを使った。
「こんな歌うたってなんになる」と言い返したいですね。
数学は役に立つんです!っ

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/e-scimath/contents/t01/textbook_t01_all.pdf
三角比と三角関数
↑出だしのあたりなど読んでみてください。

最初は直角三角形の角と「辺の比」の対応でしたから、三角比。
明らかなことですが、私の図の記法を使えば
0度<α<90度
で、等号はなし。
そうすると、
サインもコサインも0と1の間(等号なし)ですね。

この角を制限なしに一般化すると「三角比」の発展形としての「三角関数」になるわけです。
その場合は、直角三角形を離れて、半径1の単位円で考えれば、ほぼすべてがわかります。

★リンク
http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2016/07/post-a3d8.html
2016年7月12日 (火)「算数チャチャチャ」:イチャモン・シリーズ1

http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2016/07/post-1c30.html
2016年7月15日 (金)「算数チャチャチャ」:イチャモン・シリーズ3

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