「２のｎ乗の数」の先頭の数字列：無限の恐ろしさ。：その１・話の概要

http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2016/02/post-9163.html
2016年2月 2日 (火)「過去最大の素数」

↑ここで、これまでに発見された最大の素数「２の７４２０７２８１乗－１」という数（「M74207281」と命名）の話を書きました。桁数は「２２３３万８６１８桁」で「３００３７６４１８０……１０８６４３６３５１」という数です。
ここでは、常用対数を用いて、この巨大な数の「はじまりの部分」を求めてみました。

続いて↓ここでは
http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2016/02/m74207281-1d9c.html
2016年2月 3日 (水)「「M74207281」にまつわる話題」

この素数、「２２３３８６１８」個もの数字が並んでいたら、その並びの中にはいろいろな「数字列」がありえます。
テキストエディタで M74207281 を開いておいて、文書内の文字列検索をしてみました。
πの3141…という数字の並びは６個並んだ部分がありました。

271828, 141421, 2016 など、素数の「中に」存在する数字列をいくつか あたってみました。
この話は素数でやりましたが、別に素数である必要はなくって、２のｎ乗の数でできる話です。
「２のｎ乗ー１」が素数であるかどうかは、本質的じゃないんですね。１を引く前の２のｎ乗の数でいい。

★そうであるならば逆に「ある数字の並びを指定して、その並びで始まる２のｎ乗の数」というのを求めることができるのではないか、そんな気がしました。そしてこの話、以前の読書の中にあったはずと探してみたら。

「爽快！２＾１００三話」根上生也 著、星雲社刊、１９９６年１０月１４日　第１版第１刷発行

この本を思い出して、パラパラと再読してみました。
ありましたよ。｛２０年近くも前の読書ですね。私の記憶もまんざらではない。｝
ちょっと途中省略しますが、論理はたどれると思います。

３１：何桁の数でも登場する
　では、最後の謎解きをしましょう！
　　　何桁の数でも、２を何回も掛けていくと、その先頭に登場する。
　この事実を証明します。

このような s+1 桁の数 a が、m+1 桁の数Ｘの先頭部分に現れているとすると、Ｘは次のように表せます。

したがって、Ｘは

から

までの間の数です。

ここから次の不等式を得ます。

この各辺を10^(m-s)で割って、その対数をとると

を得ます。
これを対数の法則を使って整理すると

となります。
この式の意味は
・・・
log(a) の小数部分 ≦ log(X) の小数部分 ＜ log(a+1) の小数部分
ということです。

最後の
log(a) の小数部分 ≦ log(X) の小数部分 ＜ log(a+1) の小数部分｛Ｂｏｌｄ｝
これは、巨大な「２のｎ乗の数」の先頭部分を決定したのと仕組みは同じです。

★この不等式はプログラムになじみやすいように思われます。
・頭に並んでほしい数をａとすれば、不等式の両側はすぐ求まって、途中で一々変更することもない。
・ｎを１ずつ増やすというループをつくる。
　　・「log(X) の小数部分」というのは、log(2)を求めておいて（L2）、それにｎを掛けては、小数部を取り出せばいい。
　　そして、その小数部が
　　もし、「log(a)の小数部以上」かつ(AND)「log(a+1)の小数部未満」という条件を満たしたら
　　・ループを脱出して
・「求まった！」とＸを表示すればいい。

★まずは、ここまで。プログラムの方針はできました。