宇宙から見る水平線

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2016年1月 6日 (水)「水平線」

ｘ と ｈ の関係をグラフにしてみました。
一見すると「平方根関数」のグラフに見えますが、違います。その話は後回し。
横軸は「ｍ(メートル)」で、縦軸は「ｋｍ」です。ちょっと分かりにくかったですね。

↑ここでこんなことを書きました。
軸のスケールが１０００倍も違うので、グラフの形がわかりにくいですね。
「ｙ＝√ｘ　」のグラフは、放物線の横倒しです。
ｙの値が何かに近づくというようなことはありません。
ところが、今回のグラフには「漸近線」があるのです。

★直感的な考察
チョモランマの８０００ｍ級の山あたりが地表での最高地点ですが。
高さ８ｋｍから見る水平線までの距離は約３２０ｋｍです。
話を想像力で拡大しましょう。

地表面を離れて宇宙から。どんどん遠ざかる。月から地球を見ましょうか。
遠ざかれば遠ざかるほど、真正面の地表からの距離と、丸く見える地球の輪郭線までの距離は、ほとんど同じになってくるでしょう。
ｈとｘはほぼ同じになっていくはず。

★

図の上半分をまず見てください。
ｈとｘで書いていた式を、ｘとｙで書いたのが[2]式です。
左右両辺をｘで割って、ｘとｙの比がどうなるか見てみましょう。
整理すると
ルートの中が(1 + 2R/x)になります。
図中に書いたように、ｘ がＲに比べて非常に大きくなると、分数は０近づきます。
その結果、ｘ と ｙ の比は１に近づき、ということは、ｘ と ｙ はほぼ等しくなるのです。

★
上の図の下半分。
式を整理すると、高校数学でやったと思うのですが
[3]式の双曲線の式になりました。
漸近線の式も書いておきました。

左下が(0, 0)の原点、右上は(36000, 36000)です。
静止衛星軌道の高さ位を意識して。
漸近線に近づいていきますね。

エイヤッと。右上が(100000, 100000)です。
グラフ上では漸近線にくっついてしまいました。

とまあ、こういうわけで、このグラフ、狭い範囲で見ていると平方根関数みたいでしたが、大きな範囲で見ると双曲線なのでした。

とご報告します。