面積マジック：１

★朝日新聞の連載数学コラムです。

（坪田耕三の切ってはって算数力）面積マジック（朝日新聞　2015年6月25日）
　今回は面積のマジックです。まず、厚紙で８センチ×８センチの正方形を作ってください。面積は、８×８で、６４平方センチですね。この正方形を、図１のように四つに切って、図２のような長方形に並べ替えます。できた長方形の面積は？　５×１３で６５平方センチ。おやっ？　並べ替えただけなのに、面積が１平方センチ増えてしまいました。
　図３を見てください。（１）の斜辺と（２）の斜辺の傾きがぴったり一緒であれば、直線になっているはずですね。
　斜辺の傾きを表す数値は、高さと底辺の比で表します。（１）の場合は、３：８なので、傾きは８分の３。（２）の方は、２：５なので、傾きは５分の２。分母をそろえると、（１）は４０分の１５、（２）は４０分の１６で、わずか４０分の１ですが、二つの直角三角形の傾きは違っているのです。あまりにも小さな違いなので、一直線に見えていたのですね。本当はこの斜辺には、大げさに描くと、図４の斜線部分のように、わずかに隙間ができています。それが１平方センチというわけです。
　では、次に１３センチ四方の正方形を図５のように切って並べ替え、８センチ×２１センチの長方形を作ってみましょう。正方形の時は１３×１３で１６９平方センチの面積ですが、長方形では８×２１で１６８平方センチ。あれっ、今度は１平方センチ減ってしまいました。先ほどと同じように（１）と（２）の傾きを計算すると、秘密が解けますよ。
　この図に出てきた数は、１、１、２、３、５……といった、前の二つの数を足すと次の数になる「フィボナッチ数列」の数ですよ。

★さてこれ、結構有名な問題なのです。面積が１消滅したり生まれたり。
そしてこれがフィボナッチ数列と関係があるらしいことも、まあ必ず付け加えられるのかな。
ところが、フィボナッチ数列と、この面積マジックがどう結びついているのかを、陽にというかｅｘｐｌｉｃｉｔに解説してあることは少ないような気がします。
坪田さんのコラムでは、スペースが狭いので、これ以上の説明は無理だろうとは思います。
で、出しゃばって、私が説明を試みようと思うのです。

★この問題を、大きく二つの部分に分けて考えましょう。
１：正方形をばらして長方形にしたときに、「二つの直角三角形の傾きは違っているのです。あまりにも小さな違いなので、一直線に見えていたのですね。」という部分、そしてそれらの傾きは長方形の対角線の傾きともわずかに違っていることの意味。
２：「１」という面積が増えたり減ったりする、という部分。それはいつでも「１」なのか、「１」以外のことはないのか。増減にはどういう規則性があるのか？

★まず基本の確認。
●フィボナッチ数列とは何か。

第１項と第２項を１とし、第３項以降は前２つの項の和、という定義を採用します。
１，１，２，３，５，８，１３・・・
ですね。
｛第１項を０、第２項を１とする定義法もありますが、私の個人的な感覚では気持ちよくないので採用しません。｝
１，１から始まる数列を基礎として認めるところから出発します。
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★では始めましょう。
１：正方形をばらして長方形にしたときに、

「二つの直角三角形の傾きは違っているのです。あまりにも小さな違いなので、一直線に見えていたのですね。」

という部分、そしてそれらの傾きは長方形の対角線の傾きともわずかに違っていることの意味。

●坪田さんのコラムでは、正方形をばらして長方形に並べ替えたときに横長の長方形にしてあります。そして「傾き」の議論をするときに「短い辺／長い辺」で１より小さい傾きで扱っています。数学的に何も問題はないのですが、フィボナッチ数列の持つ性質と対応づけるときに、黄金比 Φ＝１．６１８０３３９８８７４９・・・を使いたいので、長方形の向きを変えることにします。
長方形を縦長に描き、傾きは「長い辺／短い辺」で扱うことにします。
どういうことか先取りして言ってしまうと
３／８＝１５／４０
２／５＝１６／４０

５／１３＝４０／１０４
３／８　＝３９／１０４
↑これが坪田さん流の「傾き」です。

↓これをひっくり返して計算すると
８／３＝２．６７
５／２＝２．５
１３／５＝２．６

この数字自体には見覚えはないかもしれませんが、１を引くと
１．６７、　１．５、　１．６
なんだろなぁ。
実はこの数値、黄金比の近似値なんです。

黄金比Φ＝１．６１８０３３９８８７４９・・・

★えぇ？どうしてぇ？
記事中でチラッと指摘してあるように
「１、１、２、３、５……といった、前の二つの数を足すと次の数になる『フィボナッチ数列』の数」
これが問題なのですね。フィボナッチ数列をもう少し長く書くと
１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５・・・
この中で、２と５、３と８、５と１３は隣り合う項ではなく、一つ間を開けた項同士なんですね。

それを一般的に書くと、図中最初の式①のようになります。
そして、この式の両辺ををＦn-2で割ると②になります。
左辺は一つ間を開けた項の比、右辺第１項は隣り合う項の比になります。
ここでｎを大きくすると、フィボナッチ数列の隣り合う項の比は黄金比Φに近づきますので
左辺の一つ間を開けた項の比は１＋Φに近づくことになるのですね。

参考↓
http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2015/01/post-7ac9.html
2015年1月21日 (水)「フィボナッチ数列と黄金数の関連」
ここでは隣り合う項の比がΦに近づく話をしました。

★坪田さんが示したのは直角三角形の斜辺の傾きなのですが、もう一つ、長方形の対角線の傾きも考えましょう。
図３を見てください。但し長方形を縦長に置いて話を進めます。
①が８／３
②が５／２
長方形の対角線は１３／５
ですね。

ここでは最初は３，５，８という３つのフィボナッチ数列の数から始まったのですが。
長方形に並べ替えたときに５＋８＝１３という８に続くフィボナッチ数列の次の項が必要になりました。
また、②の傾きを計算するために、５－３＝２で２が必要になりましたが
２＋３＝５ですから、この２はフィボナッチ数列で３の前の項ということです。

★ここで話を一般化して
フィボナッチ数列の５つの続く項を、ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ としましょう。
ａ，ｂ， ｃ，ｄ，  ｅ
２，３，５，８，１３

「一辺がｄ の長さの正方形を、ｂ，ｃを使って分割し長方形に組み替えます。」
これが面積マジックの一般形です。

こうすると長方形の長辺はｅ、短辺はｃになります。
坪田さんの図３の②の「２」に相当するのがａとなります。

こうですね。
そうすると３つの傾き
ｃ／ａ
ｄ／ｂ
ｅ／ｃ
が問題になるわけです。
いずれもフィボナッチ数列において間をひとつ開けた項の比ですね。
ですから、これらは１＋Φの近似値なのです。
そして、フィボナッチ数列の大きな方の数でこの面積マジックを構成すると、これは１＋Φにいくらでも近づいていくのです。
数列の大きい方の値を使えば使うほど、この３つの傾きはどれも限りなく「１＋Φ」に近づいていき、ほとんど差がなくなってしまうのです。
もちろん、一致はしませんけどね。
試しに、フィボナッチ数列の２１番目～２５番目の項を使って計算してみましょう。（ウィンドウズの電卓です）

21: a=10946
22: b=17711
23: c=28657
24: d=46368
25: e=75025

c/a = 28657/10946 = 2.6180339850173579389731408733784
d/b = 46368/17711 = 2.6180339901755970865563773925809
e/c = 75025/28657 = 2.6180339882053250514708448197648

見てください。小数点以下７桁目まで一致してしまいました。
どうやったって「傾きの違い」を図示することはできませんね。
でも
c/a < e/c < d/b
です。
つまり対角線の傾きより小さく出て、後半で対角線の傾きより大きくなる。
つまりへこんでいるわけです。
ですから、「すきま」ができるはずですね。
傾きを人間が識別することは難しいけれど、すきまは数学的には厳然として存在していて、組み替えて作った長方形の面積は元の正方形の面積プラス「細長い隙間」＝「１」だけ大きいのです。

★すきまがやたらと細長いだけなんです、っ。って、ほんとかよ～。
というのを次回考えましょう。