立方数の和

★朝日新聞の連載。

[坪田耕三の切ってはって算数力]立方体で作る立方体（2015年5月28日05時00分）

　机の上に立方体の積み木があります。なんと２００個！　これで大きさの違う立方体を作っていくと、何種類できるでしょう。４０種類？　５０種類？
　まず１個だけで１種類ですね。次は１辺が２個のもの。使う積み木の数は、２×２×２で８個ですね。
　次は、１辺が３個のもの。３×３×３で、２７個使います。
　さらに１辺が４個のもの。４×４×４で、６４個も使いました。
　ちょっと待ってください。ここまでで、積み木は何個使ったでしょう。１＋８＋２７＋６４＝１００（個）。残りの積み木は１００個。これで、次の大きさはできますか。１辺が５個ですから、５×５×５＝１２５（個）。足りません。たった４種類の立方体しかできないことが分かりました。
　個数の１、８、２７、６４、１２５……という数の共通点がわかりますか？　１の３乗、２の３乗、３の３乗、４の３乗……これは「立方数」です。
　次に、３種類までの個数を足してみましょう。１＋８＋２７＝３６（個）。２種類までなら、１＋８＝９（個）。１種類なら「和」も、もちろん１（個）。こうした「立方数の和」を順番に並べると、１、９、３６、１００。１＝１×１、９＝３×３、３６＝６×６、１００＝１０×１０。同じ数の２乗になっています。これを「平方数」と言います。つまり、立方数の和は、「平方数」になる場合があるのです。
　・・・

★この話。
ああ３乗数の和ね、という感じがしたのですね。
高校数学くらいでやった話だ、と。

Σ記号というのを使って、こんな公式を覚えませんでしたか？
ついでに言うと「Σ」というのはギリシャ語で英語のアルファベットの「Ｓ」に対応します。大文字が「Σ」、小文字が「σ」です。
英語で「和」は「ｓｕｍ」ですね。で、その頭文字をとって「ｓ」で、ギリシャ語大文字表示にして「Σ」なのです。
ついでに言うと、「Π」という記号を使って、「積」を扱うことがあります。
「Π」は大文字、小文字は「π」。おや。
πは英語のアルファベットの「ｐ」に対応します。
積は「ｐｒｏｄｕｃｔ」ですから、頭文字をとって「ｐ」で「Π」。
こういう話、数学の時間に聞きませんでした？
円周率「π」の方は、円周などを意味するギリシア語 περιφέρεια（ペリフェレイア）、英語だと ｐｅｒｉｐｈｅｒｙ の頭文字ですね。

★さて
ｎ，（ｎ＋１）は引き続く２つの自然数ですから、どちらかは偶数であり、２で割り切れます。
ですから｛ｎ（ｎ＋１）／２｝＾２は分数の形になることはなく、自然数の平方数ですね。

★ちょっと見方を変えて
http://mathtrain.jp/yonjo
↑このサイトから式をお借りしました。

これを眺めますと
「１からｎまでの自然数の３乗の和は、１からｎまでの自然数の和の二乗に等しい」ことがわかりますね。
「１からｎまでの自然数の和」はもちろん自然数ですから
「１からｎまでの自然数の３乗の和は、平方数である」
「１からｎまでの立方数の和は、平方数である」ということです。

ん？
坪田さんの話は

「立方数の和」を順番に並べると、１、９、３６、１００。１＝１×１、９＝３×３、３６＝６×６、１００＝１０×１０。同じ数の２乗になっています。これを「平方数」と言います。

ここまでなら、「必ず平方数になる」という話ですが。
坪田さんは続けて「つまり、立方数の和は、「平方数」になる場合があるのです。」と書いておられる。

記事は、積み木で、辺が１の場合、２の場合、３の場合・・・と、１から始まる自然数の３乗の和について議論していると思っていて、その場合、必ず平方数になるのに・・・。

ところが「平方数になる場合がある」となりまして、困惑してしまった。
平方数にならない場合もあるのか？
変だなぁ。

しばらく悩んでしまいましたが、こういうことのようですね。
「１からｎまでの立方数の和は、平方数である」
これは常に正しいのですが、「１からｎまでの」を取ってしまうと
「立方数の和は、平方数である」となりまして、これは正しくないのです。
反例は一つでいい。
2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35
35は平方数ではありません。

ただなぁ、そこまで意識しておられるのなら、もうちょっと別の書き方があったような気がするなぁ。
「１から引き続く自然数の３乗の和は必ず平方数になります」でよかったんじゃないかなぁ、と思うのでした。
で、どうしても数学者として譲れないとお考えでしたら、「それ以外の場合、平方数にならない場合もあります」と「陽」な形で付け加えておけばいいように思いました。

↓参考サイト
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suuretu/suuretu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/suuretu/suuretu/siguma-kkk.html
立方数の和の式ができてしまえば、数学的帰納法で証明してもいいけれど、そもそも式はどうやって導くのか？
いろいろあるんですけど、比較的初歩的に導く方法が書かれています。興味がおありでしたらどうぞ。