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2015年4月13日 (月)

√2の話:その37:「√」キーを何度も押すとなぜ1になるの?:その1

http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2015/04/post-7967.html
2015年4月 1日 (水) √2の話:その35「正方形の対角線」
↑この記事で、数学者の芳沢さんのお話を引用しました。↓
http://www.nikkei.com/news/print-article/?R_FLG=0&bf=0&ng=DGXMZO80396050S4A201C1000000&uah=DF260720128534

■電卓でどんな数でも√を何度も押すとなぜ1になるの?
 10年ほど前、静岡市内のある小学校で出前授業をしたときのことである。アンケートを取らせていただいたところ、6年生から興味深い質問があった。
 「でんたくに√っていう記号があるけどなんですか。どんな数でも√をずっとやれば1になるのはなぜですか」
 これは、たとえば81に対して、次々と正の平方根をとっていくと、9、3、1.73…となって1に収束すること。あるいは0.00000001に対して、次々と正の平方根をとっていくと、0.0001、0.01、0.1、0.316…となって1に収束すること、などを意味している。
 どうしてこうなるのか。答えられる大人はかなり少ないと思う。大学の数学の範囲で説明できるが、電卓で遊んでいてそのことを発見した小学生のセンスには驚かされる。

さて「電卓でどんな数でも√を何度も押すとなぜ1になるの?」という問いに答えられますか?
芳沢さんは「大学の数学の範囲で説明できる」とおっしゃっていますが、数学的な厳密性には欠けますけど、高校数学で十分に答えられますよ。「極限」という概念を、直感的に理解していればできるんです。それと指数の知識とね。
私が今考えているのは2通りあるのですが。

★その0(ゼロ)
まず、本当に1に収束するのか、という点をチェックしておきましょう。
●BASICでプログラムを書いてチェック。
プログラムと結果はFile1に入れておきます。
「File1.txt」をダウンロード
{マウスで左クリックすると内容が読めます}
10進15桁で計算して前の値との変化がなくなったら止まるようにプログラムしました。
2から出発しても0.2から出発しても確かに1に近づきますね。

●プログラムなどというとちょっと引いてしまうと感じる方へ、エクセルでも簡単にできます。
Multisrq 図1
2を出発にして次々と平方根をとっていく経過です。
この計算精度だと32回くらいで1になってしまいました。
これは、こうやって書きました。
Multiroot2_1
セルA1に2を記入します。
セルA2には「=SQRT(A1)」と式を書きます。{式の意味は「(相対的に)上のセルの平方根をとる」という意味です。}
セルA2の右下にマウスポインタを持っていくと「+」が現れますので、左ボタンを押したまま下へマウスを引きずります{ドラッグするといいますね}。
するとセル内容の式がコピーされて、次々と上のセルの平方根をとるという計算をしてくれます。

で、1になったあたりまでをセレクトして、挿入から散布図のグラフなどを選んでグラフ化すると
Multiroot2
こうなります。

・面白いことに、いったん出来上がってしまうと、セルA1の値を書き換えるだけで、下に続くセルの値も変わり、グラフも自動的に書き換えられます。
セルA1に、3とか1000とか0.1とかいろいろ入れてみてください。
Multisqr01
0.1から出発したときのグラフです。
簡単でしょ。
「エクセルで行う数学実験」とか銘打って発表しましょうか。
どんな数でも√を何度も押すと1になることを確認しました。

・本題からちょっとずれますが、図1をもう一回見てください。
1.000677131
1.000338508
1.00016924
1.000084016
1.000042307
1.000021153
1.000010577
なんだか、小数点以下の数が「半分半分」になっていくようではありませんか?
なぜでしょう?
どこで書いたのか特定できませんが、以前書いたことがあるように思います。
(1+x)^n において、xが非常に小さいとき
(1+x)^n≒1+nx
と近似できるのです。
今、n=1/2ですから、次々と半分になってしまうのですね。
「非常に小さい」という表現は何だか数学にふさわしくないような気がするかもしれませんが、こういうことなのです。
・試しに、電卓に「1.0001××=」と入力して、後は「=」キーを次々と押してみてください。足し算みたいなことになりますよ。
Kinji
ほらね。
セルA1とB1に「1.0001」を書き込みました。
「=A1*$B$1」というのは
「A1」は相対指定ですので、「上のセル」という意味になります。
「$B$1」は絶対指定といって、いつでもどこからでもセルB1の値を参照します。
ですから、上のセルの値にセルB1の値をかける、という意味になり、次々と「1.0001」をかけていくことになるのですね。

★この話題、引っ張ることにします。
次回は「電卓でどんな数でも√を何度も押すとなぜ1になるの?」の解説に入ります。

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