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2015年4月15日 (水)

√2の話:その39:「√」キーを何度も押すとなぜ1になるの?:その3

★まずグラフをご覧ください。
Sqrtx
ごく単純なものです。
直線は、y=x
曲線は、y=√x
です。
両方のグラフは点(1,1)で交わります。

グラフの利用ですが。
aの平方根を求める場合。
x軸上の(a,0)から真上へたどり、y=√xのグラフと交わる点をPとすれば
点Pは(a,√a)という座標を持ちます。
点Pから左横へたどってy軸との交点を見れば、それが√aの値を示します。

Sqrtx_
x軸上にa0を取り、真上へ上がってy=√xと交わるところから左へ行って、y軸との交点をとればその値が√a0です。
これをa1としましょう。
次に、a1の平方根をとりたいので、a1の値をx軸に移すことを考えます。
a1を求めるために横に進んできたときに、y=xと交わっていますね。
その交点から真下へ降りてx軸と交わるところをとれば、この値がa1です。
なにせy=xですからね。

以下同文なのですが。
いちいちy軸まで行くこともない。
a1から上へ行って、y=√xと交わる点から左へ行って、y=xと交わる点から下へ行って・・・
とy=xとy=√xの間をジグザグと、ぶつかるたびに向きを変えながら進めばいい。
両方のグラフの交点(1,1)へいくらでも近づいていきますね。
そうすると、x軸上の値でみると、a0,a1,a2,a3・・・と進んでいって1へいくらでも近づくのです。

はい、平方根を重ねて取っていくと、1にいくらでも近づいていくのです。

出発点が1より小さい場合は、図でお分かりと思いますが、ジグザグと上へ登っていくことになり、これまた点(1,1)に近づいていくのです。

★これが「√」キーを何度も押すとなぜ1になるの?」というといに対する視覚的・直感的な説明です。
もちろん、これは数学的な証明にはなっていませんので、ご注意ください。
ちゃんとやるとすると、やはり大学の数学が必要になるでしょう。
{収束というのを数学的にきちんとやるのは大学なので。}

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