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2015年4月14日 (火)

√2の話:その38:「√」キーを何度も押すとなぜ1になるの?:その2

★今回は、ままずちょっと指数法則を。
Multiroot0_2
↑これをご覧ください。
   式①: (a^m)^n = a^(mn)
これは既知であるとします。{初めから全部解説というのはさすがにちょっと}

そうすると、例えば
√3の2乗は3であり、
3の(1/2)乗の2乗は3ですので。
(1/2)乗と平方根は同じものであることがわかります。
{一般には(1/n)乗はn乗根ですが、それは後で扱うとして、ここではn乗根には立ち入りません。}

★繰り返して「√キー」を押すということは、
aという数の平方根をとって、それの平方根をとって、さらにその平方根をとって・・・と繰り返すことです。
それはまた、aの(1/2)乗を(1/2)乗し、さらに(1/2)乗し・・・ということと同じです。
↓この図の上の段がそれを表しています。
Multiroot

√キーをn回押すということを表現したのが2行目の部分。
ここで、nを無限に大きくしていくとどうなるか。

2のn乗が無限に大きくなり
(2のn乗)分の1は0(ゼロ)に近づいていきます。
aの肩に乗った指数が0(ゼロ)に近づけば
a^0=1
ですから
1に近づいていく、のです。

√キーを何度も押していくと1に近づくというのはこういうことですね。

電卓では計算精度の問題があって、それを超えるともう計算できませんので、結構速いところで「1になる」のです。

★ハイ、これが
「電卓でどんな数でも√を何度も押すとなぜ1になるの?」
という問いに対する一つの説明です。
{これは直感的な説明です。数学的な証明ではありません。そこは区別しておきましょう。}


答えが一つだからといって、その答えに到達する道筋も一つだということはありません。
数学って答えは一つなんだから、道筋だって一つなんじゃない?というわけではないのです。
高校の物理や化学で、答えに至る筋道を複数示すと生徒が嫌がることがあるのですね。
私の方としては、複数の考え方を提示して、自分にとってわかりやすい考え方を自分のものとしてくれればいい、と思ってそうするのですが。あるいは一つの出来事をいろいろな観点から見ることができるという「視点の複数化」をしたいと願いましたが。
生徒は、答えは一つに限る、そしてそれを求める考え方(公式)は一つに限る、と思い込んでいる。
先生、どっちが公式なの?どっちを覚えればいいの?とくる。
教師としては辛いものがありました。{これって、「塾的」な発想ですよね。試験のために、とにかく何か一つ「公式」を覚え込んで答えが出ればそれでいい、というのは。意味なんか考えているとテストでいい点が取れない、ということかな。理科教育はそうじゃないんだけどな。}

答えより考え方の方が重要なんだよ、と言い続けた教師人生でした。

★次回は別の、より直観的な考え方をやってみましょう。

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理科おじさん」カテゴリの記事

コメント

面白いです~!私も作ってみました。OL時代、
表を作って簡単な関数で計算式を入れたことは
ありましたが、こういう風に使う、ということ、初めて
知りました。もっともっと作りたいし、知りたいです。
本当に面白い。
うちの息子(小5)にも折りにふれて伝えていきま
す。理科おじさん、いつもありがとうございます。

コメントありがとうございます。楽器の演奏ができなくても音楽は楽しめるし、実技があまりできなくてもスポーツが楽しめるように、数学や理系の話も、「鑑賞して」楽しむことができるのではないか、と思っています。普通のパソコン環境で楽しめる数学実験などを工夫していきたいと思います。

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