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2015年4月16日 (木)

√2の話:その40:n乗根を繰り返しても1に近づくよ:その1

★√キーを何度も押すというのは、(1/2)乗を繰り返していくことでした。
そうすると、(1/(2^n))乗ということになって、nを大きくしていくと、指数が0に近づき、累乗は1に近づくのでした。
別に(1/2)乗じゃなくてもいいんじゃない?
mを正の整数として。(1/m)乗だって同じでしょ。
Multinthroot

★やってみましょう。
Nthroot0
エクセルのセルに式を書き込んで次々と3乗根をとるというのをやってみました。
2から出発しても、0.2から出発してもやはり1にたどり着きますね。
オマケで2の12乗根というのもやっておきました。{種明かしは後で。}
書き込む式はちょっとやっかいかも。
上のセルの値の対数を取って、「3分の1」にして、また指数の肩にのせて戻す、という式です。
{ここでの対数は「LN」と表記される「自然対数」です。atural ogarithm ですね。
数学の話をするときには自然対数、実用的な計算などでは常用対数を使います。}
3乗根キーのある電卓もありますが、一般的ではないので。n乗根用の式を作りました。
この「3分の1」というところを「n分の1」にすれば任意のnについてn乗根が求まります。

さて、予想通り、n乗根を繰り返せば1になるということがわかりました。
数学というものの持つ「一般性」の威力です。

★3乗根なんて日常生活に意味あるのかよ。
ありますよ。
体積を2倍にしたかったら、辺の長さとか半径とか、立体図形の長さサイズを1.26倍すればいい。
1.26×1.26×1.26=2.000376
ね、体積が2倍になります。
セッケンなどで、おおざっぱに、長さ・幅・高さが1.2倍~1.3倍くらいになっていれば体積・重さが約2倍になっていますので、お値段と比べてみてください。どっちがお得かな。
{長さサイズで2割りちょい増しなら、重さが約2倍になるんですね。}
こんなのどうですか。
1辺が10cmの立方体があります。体積は1000立方cmですね。
1辺が12.6cmの立方体の体積は、。2000立方cmなのですね。
わずか2.6cmずつ伸ばしただけで体積2倍です。
ちょっと意外な感じがしますね。

12乗根なんて生活に無縁でしょ。
いえいえ。毎日「12乗根」にお世話になっています。
1オクターブって、振動数が2倍になることです。
「2倍を12段階に均等に割った=2の12乗根」が12平均律。
半音が12段で1オクターブですね。
1段で振動数が基音の12乗根倍になるのです。
1.0594630943592952645618252949463 倍ですね。
12乗根を12回かければ1になりまして、
(2^(1/12))^12=2^1=2倍になるんですね。

440
466.16376151808991640720312977639
493.88330125612411183075454185884
523.25113060119726935569998704661
554.36526195374419249757266720242
587.32953583481512052556602772116
622.25396744416182147274303865227
659.25511382573985947168352209311
698.45646286600776889075048127982
739.98884542326879786739041908523
783.99087196349858817139906091965
830.60939515989027704488357786743
880
ウィンドウズの電卓でやったら、こうなりました。

バイオリンなどフレットがなくて、演奏者が自分で音程を決められる楽器だと、その気になったら自然音階で演奏してしまえ、ということができるかもしれません。あるいは、ピアノの演奏者が調律師に依頼して調律そのものを自然音階にして演奏することはあり得ます。
でも、ギターにはフレットがあるし、管楽器には大抵、管の長さがあるし、発音体の長さが平均律で決まる長さになっている場合の方が圧倒的に多い。
音楽を聴くたびに、私たちは12乗根のお世話になっているのです。

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