√２の話：その４０：ｎ乗根を繰り返しても１に近づくよ：その１

★√キーを何度も押すというのは、（１／２）乗を繰り返していくことでした。
そうすると、（１／（２＾ｎ））乗ということになって、ｎを大きくしていくと、指数が０に近づき、累乗は１に近づくのでした。
別に（１／２）乗じゃなくてもいいんじゃない？
ｍを正の整数として。（１／ｍ）乗だって同じでしょ。

★やってみましょう。

エクセルのセルに式を書き込んで次々と３乗根をとるというのをやってみました。
２から出発しても、０．２から出発してもやはり１にたどり着きますね。
オマケで２の１２乗根というのもやっておきました。｛種明かしは後で。｝
書き込む式はちょっとやっかいかも。
上のセルの値の対数を取って、「３分の１」にして、また指数の肩にのせて戻す、という式です。
｛ここでの対数は「ＬＮ」と表記される「自然対数」です。Ｎａｔｕｒａｌ　Ｌｏｇａｒｉｔｈｍ　ですね。
数学の話をするときには自然対数、実用的な計算などでは常用対数を使います。｝
３乗根キーのある電卓もありますが、一般的ではないので。ｎ乗根用の式を作りました。
この「３分の１」というところを「ｎ分の１」にすれば任意のｎについてｎ乗根が求まります。

さて、予想通り、ｎ乗根を繰り返せば１になるということがわかりました。
数学というものの持つ「一般性」の威力です。

★３乗根なんて日常生活に意味あるのかよ。
ありますよ。
●体積を２倍にしたかったら、辺の長さとか半径とか、立体図形の長さサイズを１．２６倍すればいい。
１．２６×１．２６×１．２６＝２．０００３７６
ね、体積が２倍になります。
セッケンなどで、おおざっぱに、長さ・幅・高さが１．２倍～１．３倍くらいになっていれば体積・重さが約２倍になっていますので、お値段と比べてみてください。どっちがお得かな。
｛長さサイズで２割りちょい増しなら、重さが約２倍になるんですね。｝
●こんなのどうですか。
１辺が１０ｃｍの立方体があります。体積は１０００立方ｃｍですね。
１辺が１２．６ｃｍの立方体の体積は、。２０００立方ｃｍなのですね。
わずか２．６ｃｍずつ伸ばしただけで体積２倍です。
ちょっと意外な感じがしますね。

●１２乗根なんて生活に無縁でしょ。
いえいえ。毎日「１２乗根」にお世話になっています。
１オクターブって、振動数が２倍になることです。
「２倍を１２段階に均等に割った＝２の１２乗根」が１２平均律。
半音が１２段で１オクターブですね。
１段で振動数が基音の１２乗根倍になるのです。
1.0594630943592952645618252949463　倍ですね。
１２乗根を１２回かければ１になりまして、
（２＾（１／１２））＾１２＝２＾１＝２倍になるんですね。

440
466.16376151808991640720312977639
493.88330125612411183075454185884
523.25113060119726935569998704661
554.36526195374419249757266720242
587.32953583481512052556602772116
622.25396744416182147274303865227
659.25511382573985947168352209311
698.45646286600776889075048127982
739.98884542326879786739041908523
783.99087196349858817139906091965
830.60939515989027704488357786743
880
ウィンドウズの電卓でやったら、こうなりました。

バイオリンなどフレットがなくて、演奏者が自分で音程を決められる楽器だと、その気になったら自然音階で演奏してしまえ、ということができるかもしれません。あるいは、ピアノの演奏者が調律師に依頼して調律そのものを自然音階にして演奏することはあり得ます。
でも、ギターにはフレットがあるし、管楽器には大抵、管の長さがあるし、発音体の長さが平均律で決まる長さになっている場合の方が圧倒的に多い。
音楽を聴くたびに、私たちは１２乗根のお世話になっているのです。