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2015年4月20日 (月)

√2の話:その42:いつのまにかn乗根の話になってしまいました

http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2015/04/post-d459.html
2015年4月17日 (金) √2の話:その41:n乗根を繰り返しても1に近づくよ:その2
↑前回、「n乗根を繰り返しても1に近づく」という話をした時にこう書きました↓

ただね、無限に発散する「速さ」が違う、とは言えます。(数学的に正しい表現かどうかはちょとわかりませんが)
そのことについてはまた稿を改めます。

で、今回は「そのこと」なんですが。
数学的な厳密さはまるっきり放棄します。直感的にいきま~す。
Bekigraph
グラフを再掲します。増加の仕方が「ゆっくり」になっている感じがします。
ですが
y=√x も y=x も、xを大きくしていけば、yも際限なく大きくなります。それを止めるものはない。
ですから、どちらも無限大に発散しますね。
(√x/x)でxを限りなく大きくしていった時の極限を考えます。
(∞/∞)になるんじゃない?まあね。
(√x/x)=(1/√x)と変形できますね。{分母の有理化の逆ですね。分母の無理化とはいわないけど}
ハイ
(1/√x ) で x を大きくしていったらどうなりますか?
分母が無限に大きくなれば、分数は0に近づく。極限で0になる。

y=√x の曲線はいくらでも大きくはなるんですけど、y=xで増えていくのに比べると「すごく遅い」のですね。
で、(√x/x)の極限は0になってしまう。

なんだか直感を裏切るような感じがしますが、どうも、そうなるしかないようですね。

n=3以上のn乗根についてもまったく同じ議論が成立します。
(x^(1/3))/x = (x/x^3)^(1/3) = (1/x^2)^(1/3)
・・・
Nthrt
ここでxが大きくなれば、比の値は0に近づきますね。

★「ゆっくり」ということを考えてみました。
この「ゆっくり」のこと。また「あとを引き」ます。
ちょっと時間がかかりそうな予感がしていますが。

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