√２の話：その４２：いつのまにかｎ乗根の話になってしまいました

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2015年4月17日 (金)　√２の話：その４１：ｎ乗根を繰り返しても１に近づくよ：その２
↑前回、「ｎ乗根を繰り返しても１に近づく」という話をした時にこう書きました↓

ただね、無限に発散する「速さ」が違う、とは言えます。（数学的に正しい表現かどうかはちょとわかりませんが）
そのことについてはまた稿を改めます。

で、今回は「そのこと」なんですが。
数学的な厳密さはまるっきり放棄します。直感的にいきま～す。

グラフを再掲します。増加の仕方が「ゆっくり」になっている感じがします。
ですが
ｙ＝√ｘ も ｙ＝ｘ も、ｘを大きくしていけば、ｙも際限なく大きくなります。それを止めるものはない。
ですから、どちらも無限大に発散しますね。
（√ｘ／ｘ）でｘを限りなく大きくしていった時の極限を考えます。
（∞／∞）になるんじゃない？まあね。
（√ｘ／ｘ）＝（１／√ｘ）と変形できますね。｛分母の有理化の逆ですね。分母の無理化とはいわないけど｝
ハイ
（１／√ｘ ） で ｘ を大きくしていったらどうなりますか？
分母が無限に大きくなれば、分数は０に近づく。極限で０になる。

ｙ＝√ｘ の曲線はいくらでも大きくはなるんですけど、ｙ＝ｘで増えていくのに比べると「すごく遅い」のですね。
で、（√ｘ／ｘ）の極限は０になってしまう。

なんだか直感を裏切るような感じがしますが、どうも、そうなるしかないようですね。

ｎ＝３以上のｎ乗根についてもまったく同じ議論が成立します。
(x^(1/3))/x = (x/x^3)^(1/3) = (1/x^2)^(1/3)
・・・

ここでｘが大きくなれば、比の値は０に近づきますね。

★「ゆっくり」ということを考えてみました。
この「ゆっくり」のこと。また「あとを引き」ます。
ちょっと時間がかかりそうな予感がしていますが。