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2015年3月20日 (金)

√2の話:その34:派生して「n次元立方体の対角線」

★数学なんて論理ガチガチで、想像力なんて無縁なんじゃないの?とふつう思うでしょ?
ところがどっこい。
そもそも、「数」というもの、それ自体が「想像力」で支えられているんですよね。
「数」は「モノ」じゃない。
いろいろなモノを扱う中で、人間が想像力で「抽出した」概念ですよね、数って。
実数は実在だけど、虚数なんて「虚なるものが存在するなんておかしい」と、名前で混乱しないでくださいね。
実数を見せてくれったって、見せられる「モノ」じゃない。
私たちの想像力が数学を支えているのです。

★さて、次元とか無限とかいうのは、かなり「コンナン・ナンカイ」なものでして。{オソロシイ}
下の引用をお読みください。
「数学 想像力の科学」瀬山士郎 著、岩波科学ライブラリー222
p.47

   対角線のふしぎ
 立方体の対角線とはその立方体の中で一番離れている二つの頂点を結ぶ線分です。1次元の立方体は長さ1の線分ですから、対角線の長さも1ですが、一辺が1の2次元立方体(正方形)の対角線は、中学生が学ぶように√2で、1より少し長くなります。同じように一辺が1の3次元立方体(普通の立方体)の対角線は、ピタゴラスの定理を使えば、√3となることが分かります。
 ここからが想像力の働く場所です。4次元立方体の対角線の長さはどれくらいになるでしょうか。ピタゴラスの定理を繰り返し使えば、4次元立方体の対角線が
   √(1^2+1^2+1^2+1^2) = √4 = 2
となることがわかります。つまり、一辺が1の4次元立方体の中には長さ2の線分をしまうことができるのです。・・・
ここまで想像力を働かせることができれば、1辺が1mの100次元立方体の中には長さ10mの棒をしまうことができるのです。もちろん次元を上げていけば、一辺が1mの高次元立方体の中に1kmでも100kmでもどんな長さの棒でも格納できます。一辺が1の高次元立方体の体積がどんなに次元を上げてもいつまでも1のままであることに注意してください。(一辺が1のn次元立方体の体積は1^nで、1です)。こんな収納庫ができれば、場所をとらずに済みますね!ドラえもんの4次元ポケットは高次元立方体だったのかもしれません。

Diagonal
図もご覧ください。
・1辺が1の正方形の対角線は√2。
 図の立方体の底面の正方形の対角線AC=√2です。
 これは問題ない。
・次。1辺が1の立方体の対角線{図のBCです}は、√3。
 これもそう問題はない。と思いますが。
・次です。
 この「立方体をひとつの『面』として含む」1辺が1の4次元立方体の対角線は?
 その4次元立方体の対角線と、4次元立方体の1辺と、線分BCが同一平面内にあるということは4次元空間内でも正しいことですから、ピタゴラスの定理を適用することができて、その長さは√4になる。
数学の「恐ろしさ」は「とめどがない」ということですね。
1があって、2,3と「続く」ことを認めれば、もう止めることはできない。で自然数は無限の彼方へサヨウナラ。
1次元があって、2次元、3次元とくれば、4次元・・・n次元・・・もうとまりません。
で、そのn次元の1辺1の立方体の対角線はというと、√nということになります。
どんな長さの線分であっても、nを適当にとれば、必ず収まってしまう1辺1のn次元立方体があるんですね。

あは、想像を絶しますね。

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