√２ の話：その２３'：筆算による開平法：要約

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2015年2月18日 (水)「√２ の話：その２３：筆算による開平法」
↑長々と書きすぎたな、というのが正直なところ。
で、直感的に、短くまとめてみました。

左の図と右の筆算を対照しながら読んでください。

開平の筆算は、最初の一桁の見積もりを立てる部分と、その後の繰り返し部分との「２部構成」だといっていいです。

①筆算で最初に「4を立てる」のは実は「40」です。
4×4は実は40×40=1600　で平方根の見積もりの最初の部分。
まず面積2015の正方形から、面積1600の正方形が引けることを見積もりました。

②一辺40の正方形に、整数の長さaを付け加えた正方形を引くことを考えます。
新たな付け加え部分は長辺40・短辺aの長方形２つと、一辺aの正方形一つ、です。
長方形２つを長く並べると、長辺80・短辺aの長い長方形になります。
この長辺80をつくるのが40+40で、筆算では縦に4+4を行う操作です。
で、80×a＋a^2≦415　となるように見積もります。
(80+a)×a。これを見積もって(80+4)×4=84×4=336＜415　というのが、筆算の２段目。
これで、面積2015の正方形から、一辺が44の正方形を引いたことになりました。
2015-1936=79
まだ余っていますので

③一辺44の正方形に、長さbを付け加えた正方形を引くことを考えます。
ただし、残りがもう79で、bは整数ではありえませんが、下の桁から見ると正方形の辺の長さは１０倍、面積の方は１００倍という形で計算をすすめます。
新たな付け加え部分は長辺440・短辺bの長方形２つと、一辺bの正方形一つ、です。
長方形２つを長く並べると、長辺880・短辺bの長い長方形になります。
この長辺880をつくるのが440+440ですが、筆算では縦に「84+4」を行う操作として表現されています。
440+440=400+40+400+40=800+40+40=840+40 ということが自動的に実行されているということです。
880×b+b^2≦7900　となるように見積もります。
(880+b)×b。これを見積もって(880+8)×8=888×8=7104＜7900　というのが、筆算の３段目。
これで、面積201500の正方形から、一辺が448の正方形を引いたことになりました。｛小数点を考慮すれば面積2015の正方形から一辺が44.8の正方形が引けたということです。｝
201500-200704=796
まだ余っていますので
・・・

②と③は同じ操作の繰り返しですね。
ですから、後はもう止まらない。

★こんな解説でいかがでしょうか。
左の足し算では付加する長方形の辺の長さを求め、右には掛け算で、付加する長方形の面積を書き、引いて残りを求める。
こう要約できます。