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2015年2月18日 (水)

√2 の話:その23:筆算による開平法

★中学校あたりで「開平の筆算」を習ったでしょうか。
平方根を、筆算で求める方法。原理的には、桁数に制限なし。
Kaiheikeisan
これ2や2015の平方根の計算を筆算でやって、それをそのままエクセル上に書いたものです。
赤のボールドフェイスが答えになります。

★「2015」について、やった操作を書き出してみます。
①2015を小数点の位置から2桁ごとに区切る。
②左端の区切りの「20」に対して、九九を唱えて自乗が20を超えない数=この場合4を左側に立てる。
③「四四十六」で16を右の20の下に書いて引く。差の4を下におろす。
④下におろした4の右に、15を下ろして並べて415とする。(2桁ずつ扱う)
⑤左側では4+4をおこなって、8を下に書く。
⑥8の右横に何か数字aを書いて、8a(はちじゅうエイ)とし、それにaを掛けて、415を超えないようなaをみつける。
 この場合、84×4=316なので、4がaに該当する。
⑦右では、415-316=79とし、そこに上から00をおろして、7900とする。
⑧左では、84+4=88を下におろし、88a(はっぴゃくはちじゅうエイ)×aが7900を超えないようなaをみつける。
 この場合888×8=7104なので、8がaに該当する。
⑨以下同様に繰り返す。

⑧までの操作で、√2015≒44.8が求まりました。
原理的には、この操作を好きなだけ繰り返して好きなだけ近似の精度を挙げられます。ただし計算はやたらと面倒になりますが。

★右側で引き算をするのはなんとなくわかりますが、左側での足し算の意味は何なのでしょう?
そもそも、なんで小数点を挟んで2桁ずつ扱うんでしょう?
きちんと説明したいのですが、ややこしくってねぇ。
実際のところ、根本的にこの原理を私が理解していないせいなのです。
現時点で理解していることをお話ししましょう。


2015 = 2×10^3 + 0×10^2 + 1×10^1 + 5×10^0
これが通常の十進法での表記ですね。
これを
2015 = 20×100^1 + 15×100^0
というように、ある意味で「100進数」として考えるのです。
それが、小数点を挟んで、2桁ずつに区切る、ということの意味です。
なぜそんなことが必要なのか。
√100と√1000は似ているようで、全然違う。

√10   =3.162
√100  =10     { 1|00}
√1000 =31.62  {10|00}
一番上の桁によってまるっきり違いますね。
「20|15」と「2|01|50」では、やはり全然違うのです」
まずは一番上の桁を決めなくてはならない。

①100進表示で一番上の桁が決まりましたら。
4×4<20<5×5
ですので、平方根の最初の数字は「4」です。
最初の数字は「4」ですけど、実際にはこれは「40」でして、40×40=1600で、これを2015から引く。
2015 - 1600 = 415 ですね。このことの意味はというと。
Kaihei
2015という面積の正方形の一辺を求めることが平方根を求めるということです。
まず最初のステップでは、40×40という正方形はこの面積2015という正方形の中にある、ということを求めたのです。
②残った「逆L字型」の部分にかかります。
一辺が「40+a」という正方形を切り取ることを考えます。
a を0~9の数字として、40+a≦平方根 です。
ですから
(40+a)^2≦2015 です。
そうすると
1600 + 80a + a^2 ≦ 2015
80a + a^2 ≦ 2015 - 1600 = 415
こうなります。
この式の意味は、図で見ますと
a×40という長方形二つと、a^2という正方形一つの面積の和≦415
ということです。

・((40a + 40a) = ((4+4)×10)×a = 80a…細い長方形二つの面積
左側で「4+4」をおこなって、下に8を書くというのは、このように、長方形が二つある、というところから来ています。
・a^2…小さな正方形の面積

80a + a^2 ≦ 415
これが逆L字型部分の近似。
変形して
(80 + a)×a ≦ 415
となります。

左側で縦に「4+4」をおこなって下へおろした8の後ろに何か数字をつける。これが(80+a)なのです。
(80 + a)×a ≦ 415
「8□×□」と書いた方が混乱しにくいかな。
これを満たすには a = 4 がいいですね。(□には4が入る)
84×4 = 336 ですから。
これで2015の平方根の整数部が「44」と求まりました。

③それでも、415-336=79 が余っていますね。
ここで小数点以下も100進数的に考えて2桁ずつ切ります。しかも小数点は後で考慮することにすれば小数点以下の次の桁からみると
7900の差です。

これに対してまた見積もりを立てる。これがまだ残っている一層細い逆L字型の部分への近似操作です。
つまりまた
細長い長方形2つと、小さな正方形一つの面積の和≦7900
((440+b)×2)+b^2 =(88×10 + b)×b≦7900(88□×□≦7900)
そうするとb=8 で、888×8=7104≦7900
これで平方根の小数点以下1桁目が求まりました。

暫定的に√2015≒44.8
44.8^2 = 2007.04 ですので、大分2015に近づきました。

「以下同文」というか、同じ手続きの繰り返し、です。

★私にとって、筆算で開平していくときの、左側の縦の足し算の意味が了解できずにいたのです。
その後ろに数字をくっつける、というのもね。
計算はできる、意味は分かっていない。
中学生以来ずっとこの状態にあったのですが、今回、一応、なんとなく、こうかな、といところまで達しました。でも完全にすっきりした、とまではいっていないのも事実です。
はぁ~、かなり長く考え込んでしまいました。
この文章を読んで、読者がストンとわかるかというと、多分無理でしょう。
後は任せます、無責任ですが。悩んでください。私みたいに50年も悩んでいたら解けるかもしれませんから。

★参考サイトを列挙します。どうぞ。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/root.htm
平方根・立方根を筆算で求める方法 


http://izumi-math.jp/F_Nakamura/kaihei/kaihei.htm
ルートを開こう


http://fnorio.com/0004square_root/square_root.htm
開平、開立の筆算法メカニズム


http://www.ftext.org/text/section/83
開平法について

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