「√２ の話：その２７ 古いＢＡＳＩＣインタープリタ

★奥村さんの「Ｃ言語による　最新 アルゴリズム事典」の記述です。

古いＢＡＳＩＣインタープリタでは√xを exp((1/2)ln(x))として求めていたことがあったが、これでは遅いうえに誤差のために平方数の平方根が整数にならない。

これね、単に平方根だけなら、古いＢＡＳＩＣだってニュートン法でやってもいいとして、「ｎ乗根」というようなことになると、自然対数をとって、ｎで割って、ｅの肩に乗っけてやる、というのはシンプルでいいのですよね。
プログラムをお目にかけます。今回は十進ＢＡＳＩＣです。
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!ｎ乗根
DECLARE EXTERNAL FUNCTION NthRoot

LET n = 2    !n乗根
FOR i = 1 TO 10
   PRINT i;
   PRINT NthRoot(i, n)
NEXT i
END

EXTERNAL FUNCTION NthRoot(m, n)
   LET NthRoot = EXP((1/n)*LOG(m))
END FUNCTION
----------------------------------------
1  1
2  1.4142135623731
3  1.73205080756888
4  2
5  2.23606797749979
6  2.44948974278318
7  2.64575131106459
8  2.82842712474619
9  3
10  3.16227766016838
・3.1622776601683793319988935444327
----------------------------------------
n=3
1  1
2  1.25992104989487
3  1.44224957030741
4  1.5874010519682
5  1.7099759466767
6  1.81712059283214
7  1.91293118277239
8  2
9  2.0800838230519
10  2.15443469003188
・2.1544346900318837217592935665194
----------------------------------------
n=5
1  1
2  1.14869835499704
3  1.24573093961552
4  1.31950791077289
5  1.37972966146121
6  1.43096908110526
7  1.47577316159455
8  1.5157165665104
9  1.55184557391536
10  1.58489319246111
・1.5848931924611134852021013733915
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「・」のついているのはウィンドウズの関数電卓で求めた値です。比較のため。
今のパソコンのＣＰＵは６４ビットだもんなぁ。精度は充分に高いし、√９も、３乗根８、もちゃんと整数になっています。
表示桁より先まで計算していて、表示用に四捨五入かなんかしてるのですよ。
ｎ乗根だけではなく、有理数乗根（ｍ／ｎ　乗根）にも簡単に対応できるし、現在は、実用的に使えるアルゴリズムだと思いますね。

ちなみに、私の座左の古い電卓だと｛座右にはマウスがありますので｝
exp((1/3)ln(8))=7.999999999 になります。
でも(1/3)*3=1 です。
(1/3)*3 が1にならない電卓もありましたよね。