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2015年2月13日 (金)

√2 の話:その22:百川忠兵衛(治兵衛)『新編諸算記』の開平法

http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2015/02/post-ed0c.html
2015年2月10日 (火):√2 の話:その20:バビロニアの平方根
↑この回でも引用した新潟産業大学紀要に、もう一つ興味深い考え方が紹介されていました。
http://www.nsu.ac.jp/nsu/pdf/library/e-asia/35-4.pdf
新潟産業大学経済学部紀要 第35号

2.百川忠兵衛(治兵衛)『新編諸算記』の開平法
百川治兵衛(1580-1638)は日本の江戸時代初期の和算家であり,『諸勘分物』(1622)を著した.
百川が亡くなった3年後に,門弟たちは百川忠兵衛(治兵衛の改名)著として『新編諸算記』(1641年(寛永18))を大坂で出版した.この見出しに「開平法口伝知ル」とあり,人から教えられたと記述しており,開平法・開立法が 11 枚( 22 ページ)にも及んで明確に説明してある.開平法は以下のようにして求められる.

として、開平方の説明があります。
興味がおありでしたらお読みください。
私にとってはすごく興味深いのですが、今一つしっくりきませんで。
私なりの解釈を試みました。それをお目にかけます。

★√Aは無理数ですので、確定した真値はありますが、それを書き記すことはできません。
私たちが求めるのはあくまで近似値です。(approximate valueですのでaとします)
真値と近似値の差が誤差です。(errorですのでeとします)
すると
   √A-a=e
こうなります。
移項して
   √A=a+e
(真値は近似値と誤差の和という表現です)
両辺を自乗して
   A=(a+e)^2
   A=a^2+2ae+e^2
   A-a^2=2ae+e^2
ここでeの2次の項を捨てて、整理すると
   e=(A-a^2)/(2a)
これが誤差の見積もり(誤差の近似値といってもいいかな)です。
厳密な誤差より甘いですが、Aとaで求まりますので、扱いが楽。
e^2を捨てることには抵抗感もあると思います。
最初はe^2 もかなり大きな値を持ちますが、近似が進むとeは小さくなり、その自乗は無視できるほど小さくなります、と了解してください。
最初の近似値をa0としますと、誤差の最初の見積もりe0
   e0= (A-a0^2)/(2a0)

√A=a+eでした。(真値は近似値と誤差の和)
そこで、最初の近似値と最初の誤差近似値の和をとると次の近似値a1が得られます。
   a1=a0+e0
   a1=a0+(A-a0^2)/(2a0)
その近似値a1を使って次の誤差を求めると
   1=(A-a1^2)/(2a1)
2=a1+e1 ですから
   2=a1+(A-a1^2)/(2a1)
     ・・・・・・
   an+1=an+(A-an^2)/(2an)
あるいは
   an+1=(an+A/an)/2

ほら、ニュートン法やバビロニアの平方根のところで到達した式になりましたね。
異なる考え方から同じ式に到達する、ということがここでも起こりました。
ニュートン法は微分を用いますが、微分がなくても、こうやって同じ式が得られ、バビロニアの時代から江戸時代にも、同じ収束速度を持った近似式ができていたのです。面白くて不思議ですね。

どう考えたら納得できるようになるのかな、と、かなり考え込んだ末の到達点です。
如何でしたでしょうか

★数学って厳密なんでしょ。小さくなるからって捨てちゃっていいの?
実はね
   (1+x)^n≒1+nx  (x << 1)←「x は1より非常に小さい」という表現です。
こういう近似はよくやるんです。
電卓で試してください。
「1.001」「×」「×」「=」として定数計算機能を使って「=」キーを押すたびに2乗、3乗、4乗・・・を表示します。
ウィンドウズの関数電卓でやると
1.001
1.002001
1.003003001
1.004006004001
1.005010010005001
1.006015020015006001
1.007021035035021007001
1.008028056070056028008001
1.009036084126126084036009001
1.010045120210252210120045010001
1.011055165330462462330165055011
・・・
(1 + 0.001)^n ≒ 1 + 0.001×n
ですね。
電卓の掛け算で1ずつのカウントアップができるのです。

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