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2015年1月21日 (水)

フィボナッチ数列と黄金数の関連

★黄金数 (1+√5)/2 がよく出ますので、ちょっとその話を。


1,1,2,3,5,8,13,21,・・・
こういう数列をフィボナッチ数列と言います。
第1項と第2項が1で、第3項以降は前2項の和、という数列です。
Fn = Fn-1 + Fn-2

↓この数列を書き出し、ある項と前の項の比をとって表示するプログラムです。
********************
LET Phi=1.6180339887498948482045868343656
LET MAX = 30
DIM FibNum(MAX)

LET FibNum(1)=1
LET FibNum(2)=1

FOR i=3 TO MAX
   LET FibNum(i)=FibNum(i-1)+FibNum(i-2)
NEXT i

PRINT FibNum(1)
FOR i=2 TO MAX
   PRINT FibNUm(i);
   PRINT FibNum(i)/FibNum(i-1)
NEXT i
PRINT FibNum(MAX)/FibNum(MAX-1) - Phi
END
********************
結果は
1
1  1
2  2
3  1.5
5  1.66666666666667
8  1.6
13  1.625
21  1.61538461538462
34  1.61904761904762
55  1.61764705882353
89  1.61818181818182
144  1.61797752808989
233  1.61805555555556
377  1.61802575107296
610  1.61803713527851
987  1.61803278688525
1597  1.61803444782168
2584  1.61803381340013
4181  1.61803405572755
6765  1.61803396316671
10946  1.6180339985218
17711  1.61803398501736
28657  1.6180339901756
46368  1.61803398820533
75025  1.6180339889579
121393  1.61803398867044
196418  1.61803398878024
317811  1.6180339887383
514229  1.61803398875432
832040  1.6180339887482
-1.686379E-12

確かに、黄金数Φ=(1+√2)/2に近づいていくのですね。

http://gakuen.gifu-net.ed.jp/~contents/museum/golden/page62.html
なんでそうなるかの証明が載っています↑どうぞお読みください。

厳密にやると結構厄介ですが、大体こんなもんだ、という話は簡単です。
n = an-1 + an-2
n/an-1 = 1 + an-2/an-1
n/an-1 = 1 + 1/(an-1/an-2)

両辺にある、隣り合う項の比が、n を大きくすると両方ともαに近づくとしてしまえば
α=1+1/α
α^2 - α - 1 = 0
となって、これ貴金属数のn=1の場合ですね。つまり黄金数Φなのです。

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