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2014年12月16日 (火)

√2 の話:その1

★最近のコピー機はどうなっているか、あまり利用していませんので知りませんが。
A5サイズの書類をA4サイズに拡大コピーする時の倍率は「141%」ですね。
数値の指定がなくて、「A5→A4」とかというような指定方法かもしれません、その辺の事情に疎くなっています。
縮小コピーで、A4をA5にするときは?「71%」じゃないでしょうか。
この数字「なんでしょね?」

A5→A4というのは面積を2倍にする拡大。
A4→A5というのは面積を1/2にする縮小です。
面積についての倍率だということはもちろん認識しておいてください。
紙の「辺の長さ」の倍率ではありません。

★1辺が1cmの正方形の面積は1平方cm。
面積を2倍にしたいからといって辺の長さを2倍の2cmにしてしまったら、面積は4平方cmになってしまう。
面積を半分にしようとして、辺の長さを半分にしたら、面積は0.25平方cmになってしまう。

辺の長さを√2倍にすれば、1辺√2cmの正方形の面積は2になります。
辺の長さを1/√2にすれば、面積は1/2になります。

√2=1.4142135623730950488016887242097
ですので、√2倍は、約1.41倍として、これが約「141%」なのですね。
1/√2=0.70710678118654752440084436210485
ですので、1/√2 倍は約「71%」です。
これがコピー機の倍率の意味です。

★紙のサイズからの話を発展させるのに、いくつかの方向があるのですが。
今回は、多分ちょっと気づいている人が少ないのではないかという話題を取り上げましょう。
上に出てきたように
1/√2=0.70710678118654752440084436210485
√2の逆数は0.707…
です。

では、√2を2で割ってみてくださいませんか、手元の電卓で、下の文を読む前に。

・・・間・・・

ウィンドウズの電卓で、(√2)/2を計算しますと、こうなります。
(√2)/2=0.70710678118654752440084436210485

あれ?同じ数が出てきた。ナンデ?
√2ってすごく特殊な数なのかな?それとも一般的な話なのかな?

★では
1/√3  =0.57735026918962576450914878050196
(√3)/3=0.57735026918962576450914878050196
あら、おんなじだ。
ふ~ん。

実はですねコレ、中学校で習うのかな、分母の有理化ということなのです。
Yurika
一般化できるのですね。
こういうふうに書くと、学校の授業風ですが、具体的に数字で見ると、アレっという感じがして、ちょっとナットクじゃありませんか?
もちろん、数学では、2や3について成立するからといって直ちにそのまま一般化するわけにはいきませんけど。
でも、ちょっと具体的な数字で出来事を観察してみるのも悪くないでしょ。
という提案です。

★ところで、意地悪爺さんは変なことを考える。
1/√πについては、ドウナンダイ?

√π=1.7724538509055160272981674833411
1/√π     =0.56418958354775628694807945156077
(√π)/π=0.56418958354775628694807945156077
そりゃ当然成立するでしょ。数学は一般的なんだから。
しかしなぁ、コレ「有理化」とは言えないよなあ。
もともとが無理数・超越数なんだからなぁ。
「ムリムリ」とでもいいますかね。すごく落ち着きが悪い気分ですね。

(0.56418958354775628694807945156077)^2 =0.31830988618379067153776752674503
1/(0.31830988618379067153776752674503) = 3.1415926535897932384626433832795
1/√πも(√π)/πも自乗すれば1/πですから、それの逆数をとればπになる。
あったりまえですが、変な気分だ。なんとなく尻のあたりが落ち着かない。
この場合はむしろ、記号で思考した方が落ち着きがよいような気がします。

★√πなどというものが出てきたら、ルートを外すことなんか考えないで、「そのまんまの定数」として扱っておけばいいのです。
S=πr^2
r=√(S/π)
無理やりπがルートに中に入るような式を作ってみましたが、ほっといてください。
√πは定数として、円の半径は面積の平方根に比例する、とでも読んでください。こんな式、誰も使うことはないでしょうけどね。

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