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2014年12月19日 (金)

√2の話:その2

Square
★上の図の左、Fig.1をご覧ください。
黒のABCDという正方形は、1辺が1の正方形、とします。
すると対角線BDの長さは√2 になります。{ピタゴラスの定理}
この√2 の辺BDを一辺とする正方形を描くと、赤の正方形になります。
面積を比べてください。
黒の正方形は三角4つでできていますが、赤の正方形は三角が8つですね。
ですから、赤の正方形の面積は黒の正方形の面積の2倍。
正方形の1辺を√2 倍にすると、面積は2倍になりました。

★Fig.2をご覧ください。
前と同じように、黒のABCDという正方形は、1辺が1の正方形、とします。
対角線BDの中点をEとしますと、
BE=(√2)/2です。
http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2014/12/post-c475.html
「√2 の話:その1」
ここで扱いましたように
(√2)/2=1/√2
です。
ですから、BEは元の正方形の1辺を(1/√2)倍したものでもあります。
さて、BEを1辺とする正方形はまた赤の正方形です。
三角形が2つしかないですね。
正方形の1辺を(1/√2)倍にすると、面積は1/2倍になりました。

★正方形という特別な図形ですが、面積は長さ変化の自乗倍で変化することが目で見えたかと思います。
√2倍の方は、こんな図で紹介されることは多いと思いますが、1/√2倍の方はあまり見かけないように思いましたので、ご紹介しました。

★ついでに。
体積は長さの3乗倍で変化します。
立方体の体積は、縦×横×高さ ですので、長さの倍率が3回掛け合わされるのですね。

私はアゲハの幼虫の話などで
3mmから3cmまで成長すれば、体長が10倍になる、体重は1000倍になる
というようなことを書いたことがあると思います。
これが体積は長さの3乗で変わるということを基本にした大雑把な話なのです。
体の密度は変化しないのかとか、体の形は相似形かどうか、とか、厳密には難しいですが、大雑把な見積もりとしては悪くありません。

★式で一般的に説明する必要はないと思いますが。念のため
辺の長さがa、bという長方形の面積をS0とします。
0=a・b
辺の長さをr倍したときの面積をSとします。
S=(r・a)・(r・b)=(r^2)・(a・b)=r^2・S0
ということで、面積は辺の倍率の自乗倍になります。

3次元の立体についても同じ議論ですので省略します。

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