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2014年11月18日 (火)

階乗の話(まだあるの?)

★あるんですね。{今回で終わりにしますが。}
自然対数の底 e との関係という有名な話があります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97
このページの下の方に

また階乗数の逆数の総和は
Invfac 式1
となり自然対数の底 e に等しい。

こういう記述があります。
なんでだろ?と思いませんか?

いろいろなアプローチがあると思いますが
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B
「テイラー展開」から引用
Exp 式2
ここでe=1とすれば左辺は自然対数の底・eで、右辺は最初の式1と同じになりますね。
ふ~ん、と思っていただければよいとしましょう。
{テイラー展開などは高校の微分でやりませんでしたかね。}

★そこで、「1/階乗数」というのを書いてみました。
Fig2
何せ階乗はものすごい勢いで大きくなりますから、その逆数はものすごい勢いで小さくなります。
これを順に足していくと下のようになります。
0    1                         -1.71828182845905
1    2                          -.71828182845905
2    2.5                        -.21828182845905
3    2.66666666666667 -.05161516179238
4    2.70833333333334 -.00994849512571
5    2.71666666666667 -.00161516179238
6    2.71805555555556 -.00022627290349
7    2.71825396825397 -.00002786020508
8    2.71827876984127 -.00000305861778
9    2.71828152557319 -.00000030288586
10  2.71828180114638 -.00000002731267

一番左の列がn、次列が和、一番右の列はeの長い値との差です。小さい方から近づいていますのでマイナスの値になります。続きを見ますと
11  2.71828182619849 -.00000000226056
12  2.71828182828617 -.00000000017288
13  2.71828182844676 -.00000000001229
14  2.71828182845823 -.00000000000082
15  2.71828182845899 -.00000000000006
16  2.71828182845904 -.00000000000001
17  2.71828182845904 -.00000000000001
18  2.71828182845904 -.00000000000001
19  2.71828182845904 -.00000000000001
20  2.71828182845904 -.00000000000001

n=16以降はこの計算精度では変化がなくなります。
{πほど有名ではありませんが私はこんな暗記をしました。
2.718281828 「鮒 一鉢 二鉢 一鉢 二鉢」とね。ここまでが限界ですが。}

1000桁モードは?指数関数が1000桁モードでは使えないので、eの1000桁が出てきません。
で、一つ前の結果との差をプリントアウトすることにしたら。

n = 100 までの結果
2.
7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995
9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274
2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260
5956307380 2518820503 5196742472 3324653614 4663877068

n = 99 の結果との差
0.
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000107 1510288125 4669231835 4675951919 1522011540

150桁ちょいまでは正しそうですね。その先は載せても無意味なのでカットします。

これ以上やりません。
こんな風にして近づいていくものなんだな、と思っていただければ結構です。
奥深いですね。
私はJavaやる気までは起こらないけど、元気な方、やってみませんか?
長いπだけが人気なのはシャクだ、と思ったらね。

★これで階乗シリーズを終えます。

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