連分数から近似分数を作る

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2014年11月26日 (水)「連分数の求め方」

正則連分数の求め方はこれで一応出来上がりました。
次はこの連分数を近似分数にするにはどうしたらいいか、考えます。ちょっと厄介そうですね。

前回はここまで↑きています。

★おさらい

上が連分数表記。
下が省スペースの書き方。｛私は面倒くさいので、ただ数を「スペース」で区切っただけで並べていることが多いです。ご了解ください。｝

・連分数表記で、ａ1以降を切り捨てたものを「第０次近似」といいます。
「ａ0／１」という分数だと理解してください。
・ａ2以降を切り捨てると「ａ0＋１／ａ1」となります。
「（ａ0ａ1＋１）／ａ1」という分数ですね。
これが第１次近似。
・ａ3以降を切り捨てると第２次近似です。
以下同文。

★面倒くさいのですが、やってみましょう。

第２次近似でも何となく規則性が見えているのですが、第３次近似までいくと規則性が確実になります。
図の一番下です。
　　ｐi＝ａｉｐｉ－１＋ｐｉ－２
　　ｑｉ＝ａｉｑｉ－１＋ｑｉ－２
これですね。
ｉ番目の分母分子を求めるのに、２つ前までの値を利用しています。

ですから、ｉ＝１，２については、それぞれの値を求めておけば
ｉ＝３以降は繰り返しでやれそうです。
この方針でプログラムを書いてみました。
--------------------
OPTION BASE 0
LET MAX = 10
DIM a(MAX), p(MAX), q(MAX)

!LET n = 3.1415926535897932384626433832795      !π
LET n = 2.7182818284590452353602874713527      !e
!LET n = 1.6180339887498948482045868343656      !φ
!LET n = 1.4142135623730950488016887242097      !√2
!LET n = 1.7320508075688772935274463415059      !√3

FOR i = 0 TO MAX
   LET a(i) = INT(n)
   LET n = 1 / (n - a(i))
NEXT i

FOR i = 0 TO MAX
   PRINT a(i);" ";
NEXT i
PRINT

LET p(0) = a(0)
LET q(0) = 1
PRINT p(0);"/";q(0);"=";p(0)/q(0)

LET p(1) = a(0) * a(1) + 1
LET q(1) = a(1)
PRINT p(1);"/";q(1);"=";p(1)/q(1)

FOR i = 2 TO MAX
   LET p(i) = a(i) * p(i-1) + p(i-2)
   LET q(i) = a(i) * q(i-1) + q(i-2)
   PRINT p(i);"/";q(i);"=";p(i)/q(i)
NEXT i

END
--------------------
プログラムの前半はｅの値から、連分数を生成する部分。｛前回のものです｝
そこへ今回の考え方を書きます。
p(0)、q(0) と
p(1)、q(1) は
それぞれ書きます。
その後に、「前２つの値を使う」という考えにより、FOR～NEXTループで近似分数を作っていきます。
ではｅについての結果をご覧ください。↓
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2   1   2   1   1   4   1   1   6   1   1 
2 / 1 = 2
3 / 1 = 3
8 / 3 = 2.66666666666667
11 / 4 = 2.75
19 / 7 = 2.71428571428571
87 / 32 = 2.71875
106 / 39 = 2.71794871794872
193 / 71 = 2.71830985915493
1264 / 465 = 2.71827956989247
1457 / 536 = 2.71828358208955
2721 / 1001 = 2.71828171828172
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正しい値より「小さい・大きい・小さい・大きい・・・」を繰り返しながら近似が進んでいく様子が見えます。
第１０次近似で2.718281までの一致を見ました。
まあ、なかなかのものですね。
有限の長さの小数としてしか扱えないので、どうしても誤差が蓄積します。
あまり近似を進めすぎるとかえって不正確になる恐れもありますから、ご注意を。

★ところで
「πとｅの話」ＹＥＯ・エイドリアン[著]、久保儀明＋蓮見亮[訳]、青土社
この本のｐ．８９にこんな記述があります。

ｅに小数点以下４桁まで正確な数値を与える、ある程度の調和美を備えている簡潔な分数は８７８／３２３である。

あれ？
連分数から作った近似分数の中に「８７８／３２３」はないですね。
分母７１から分母４６５へ飛んでしまった。３２３は飛ばされちゃったぞ。
分母が１桁から２桁へ、２桁から３ケタへ、というジャンプがありますが、これは「1 1 4 1 1 6…」という並びの、４、６という大きな数の出現と関連があるようですね。

さて、そうなのか。連分数に依らずに、「８７８／３２３」を生み出すようなアルゴリズムを考えなくっちゃいけませんね。

あらまあ。いいけどさ。

★ちなみに、プログラム中でコメントアウトしてある他の数、πやφ、√２、√３を試した結果をファイルとしてお目にかけます。πはそのうち蒸し返すつもりでいます。ご覧ください。
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