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2014年11月25日 (火)

連分数

★連分数というものをご存知でしょうか。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0

連分数(れんぶんすう、英: continued fraction)とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す。分子が全て 1 である場合には特に正則連分数(英: regular continued fraction)ということがある。単に連分数といった場合、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形である。

として
Renbunsu_2
こう書かれています。

面倒くさそうですね。
分数だけでも、なんだかなぁ、という方もいらっしゃるとか。
その分数の分母にまた分数が入っているなんてね。
どう計算していいかも混乱するかもしれませんが、ま、あまり深刻には悩まないでください。
x = [a0; a1, a2, a3]
こういう表記も使います。

で、その連分数、何の意味があるの?とお思いでしょう。
実は、πとかeとか、√2とか、無理数を連分数表記にしてみると面白いことが起きることがあるんです。
黄金分割の比に出てくるいわゆる黄金数:φ=(1+√5)/2 なんか、実に美しいんですが、ちょっと脇に置いて。

★自然対数の底e、あるいはネイピア数eを連分数にするのも面白いのです。

ウィンドウズの電卓を使いながらコピー&ペーストで書いてみます。
●まず
2.7182818284590452353602874713527 を整数部と小数部に分けます。
2.7182818284590452353602874713527
= 2 + 0.7182818284590452353602874713527
●小数部は1より大きい数の逆数で表せますね。
0.7182818284590452353602874713527 = 1/1.3922111911773328143765528784797
●1.3922111911773328143765528784797を整数部と小数部に分けます。
1.3922111911773328143765528784797 = 1 + 0.3922111911773328143765528784797
●この小数部も1より大きい数の逆数で表せます。
0.3922111911773328143765528784797 = 1/2.5496467783038448822263926847982

というようにして、果てしなく続けることができます。
正直なところ、実に面倒くさい。
ちょっと先まで続けてみました。

2.7182818284590452353602874713527
= 2+0.7182818284590452353602874713527
= 2+1/1.3922111911773328143765528784798
= 2+1/(1+0.3922111911773328143765528784798)
= 2+1/(1+1/2.5496467783038448822263926847977)
= 2+1/(1+1/(2+0.5496467783038448822263926847977))
= 2+1/(1+1/(2+1/1.8193502435980798917834874920689))
= 2+1/(1+1/(2+1/(1+0.8193502435980798917834874920689)))
= 2+1/(1+1/(2+1/(1+1/1.2204792856454378093315442340271)))
= 2+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+0.2204792856454378093315442340271))))
= 2+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/4.5355734760867416253291839067587))))
= 2+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(4+0.5355734760867416253291839067587)))))
= 2+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(4+1/1.8671574389879601300433104394162)))))

うぁぁぁ…ですね。
自分でも気持ち悪い。
Fact861
規則性はこうです。
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,…]
2,4,6,8,10…と偶数の間に、1,1 が挟まっているのです。
これって本当にeなの?

2+1/1=3                                                  =3
2+1/(1+1/2)=8/3                                          =2.6666666666666666666666666666667
2+1/(1+1/(2+1/1))=11/4                                   =2.75
2+1/(1+1/(2+1/(1+1/1)))=19/7                             =2.7142857142857142857142857142857
2+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/4))))=87/32                      =2.71875
2+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(4+1/1)))))=106/39               =2.7179487179487179487179487179487
2+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/1))))))=193/71         =2.7183098591549295774647887323944
2+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/6)))))))=1264/465 =2.7182795698924731182795698924731
……
確かにね、eに近づいているようですね。

★私が時々使うカルキングJというソフトはかなり優れものでして、連分数を書いて、そのまま「計算しろ」{いえ「計算してくださいな」}というと、計算できるんです。
E_renbunsu1
ほらね。私の暗記分(2.718281828)はカバーしてますね
eという無理数、しかも、代数的な方程式の解にはならない超越数が、連分数の形では「規則的に」表現できる、というのはものすごく不思議じゃないですか?

★eには他の連分数表記もありまして。
Fact86 {}fact86
このほうが規則性は見やすいかもしれませんね。
これをカルキングJにやらせると{やっていただくと}
E_renbunsu2
こうなります。
なんかこう、数学って不思議だなあ、という思いにとらわれませんか?

★最後に
黄金数:φ=(1+√5)/2 = 1.6180339887498948482045868343656
これを連分数にすると
Phi_renbunsu
いかがでしょう?
あまりの意外さ、美しさに息を呑む、という感じがしませんか?

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