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2014年1月23日 (木)

三角形に糸の輪をかけてぴんと張ったまま線を描くとどうなるか(かかしの卵形線)

http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2014/01/post-0f37.html
2014年1月21日 (火)「カッシーニの卵形曲線(2点からの距離の積が一定)」
http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2014/01/post-e945.html
2014年1月22日 (水)「「∞」に似た図形」
からの続きです

★「三角形に糸の輪をかけてぴんと張ったまま線を描くとどうなるか」という問題。
記憶では、ニュートンが「卵形になる」といったような気がするのですが・・・。
岩波新書かなにかで読んだ。それで、パソコンでトライした。
と記憶しています。

楕円を描くというと
2本のピンに糸をつないで、糸がピンと張った状態を保って鉛筆を動かすと楕円が描ける
のでした。
ただ、反対側へ回る時にちょっと持ち替えなければなりませんね、この方法だと。
で、こんな工夫がありうるのです↓
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/quadratic/reference/draw_ellipse.html
楕円の描き方
   1:2本のピンを焦点の位置に立てる。
   2:輪にしたひもをピンに引っかける。
   3:ひもに鉛筆を引っかける。
   4:ひもがたるまないように鉛筆を動かす。

持ち替えの必要がありません。輪全体の長さからピンの間隔を引いたものが「距離の和」になってずっと維持されます。

この考え方を拡張します。
   1:3本のピンを立てる.(三角形ABCとしましょう)
   2:輪にしたひもをピンに引っかける.
   3:ひもに鉛筆を引っかける.
   4:ひもがたるまないように鉛筆を動かす.

さて、どんな図形が描けるでしょう?
糸は常にA,B,Cのうちのどれか2つを焦点にした楕円を描きます。
ただ、三角形の3辺を延長して平面を6つの領域に分けるとき、それぞれの領域で、焦点からの距離の和が異なるのです。
ですから、プログラム化するのはかなり厄介です。
Tamago2
不等辺の「なんとなく一般的な」三角形で実行した図です。
エクセルのVBAで書いてあるのですが
まず、3点を指定します。(便宜上座標軸上で指定します。)
すると、3辺の長さの和が提示されますので、それより大きな値を和の長さとして入力します。
で、実行「Go」します。
ふ~ん、という感じでしょ。
Tamago1
正三角形でやってみると、「おむすび」ですね。
糸を長くすると、円に近くなります。
では、細長い二等辺三角形でやってみますと
Tamago0
ほら、「卵が産まれた!

こういう図形を検索してみたのですが、名前があるのかどうか、よくわかりませんでした。
「かかしの卵」という図形ではありません。オリジナルではないのですから。
どなたか、この図形の先駆者の話をご存じありませんか?
教えてください。

★一応、VBAでのプログラムをテキストにして、ここに置きますので、読んでくださって結構ですが、多分難解だと思います。よろしければどうぞ。
「3pointsEgg.txt」をダウンロード

このプログラムの原型を考えたのはSHARP X1 turboの、HuBasicで、だったような気がします。
先進的なBASICだったなぁ、あれ。HuBasicを使いたくてX1を買ったのでしたっけ。

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