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2014年1月24日 (金)

楕円の別の定義法

★いろいろ調べていましたら、ドキッとする内容↓
http://www.s-yamaga.jp/nanimono/sonota/ellipse.htm

もう一つのだ円の定義:ある定点(F)とある直線(l)からの距離の比が一定(FP/FH=一定)というものである。このとき、この比の値が離心率(e)になる。このとき、この直線(l)を準線という。

↓ここが詳しい。
http://fnorio.com/0069quadratic_curve1/quadratic_curve1.htm
二次曲線の性質

・・・
2.焦点と準線からの距離の比(離心率e)が一定な点の図形
(1)離心率eによる図形の変化
 平面上で一つの定点(焦点)と定直線(準線)からの距離の比が一定な点の描く図形が二次曲線である。一定な比の値を離心率eという。焦点Fの位置を(f、0)=(10、0)、準線をx=0の直線として、離心率eを変えた図を下に示す。0<e<1(楕円)、e=1(放物線)、e>1(双曲線)。
・・・
(4)二次曲線の標準形
 上で述べたように、二次曲線の図形は対称線 x=f/(1-e2) に対して左右対称になる。そのため座標の原点を(f/(1-e^2),0)に移動して、新たにx’y’座標をとると、方程式をx’y’に関して対称的な形にすることができる。

Risinritu
こういうことです。
こういう図を描いて、PH=PF のとき放物線、というのは習いましたよ。
また、楕円の離心率も習いました、確かに。
でもねぇ、
PF/PH=e
としたときに、このeが離心率(eccentricity)で、0<e<1なら楕円、e>1なら双曲線、というのは「そりゃそうだが、気づいていなかった」トホホ迂闊。
Risinritu2
この式でe=1とすると、横倒しの放物線の式になります。
上の引用文の「(4)」のように、座標を移動して「観察」しますと、確かに標準形になっていまして、放物線と双曲線であることがわかります。

やってみるっきゃないでしょう!
↓プログラム
-------------------
!Ellipse

LET Xmax = 10
LET Ymax = 5
SET WINDOW -1,Xmax,-Ymax,Ymax
SET POINT STYLE 1
DRAW AXES

LET stp = 0.005
LET er = 0.002
LET f = 1

FOR ratio=0.8 TO 1.2 STEP 0.2
   FOR x=0+stp TO Xmax STEP stp
      FOR y=-Ymax TO Ymax STEP stp
         IF (x<>f)AND(y<>0) THEN
            LET r1 = x
            LET r2 = SQR((x-f)*(x-f) + y*y)      
            LET wrk = r2 / r1
            IF ABS(wrk - ratio) < er THEN
               PLOT POINTS :x, y
            END IF
         END IF
      NEXT y
   NEXT x
NEXT ratio
END
--------------------
PF/PH=一定
という条件を満足する点を探します。
Ellipse2_2
楕円は比=0.8
放物線は当然、比=1.0
双曲線は比=1.2
で描いています。

なるほど。納得した次第です。
いろいろあるんだなぁ。

★おまけ。
x軸の0.5付近で3種の曲線が込み合っていますね。
太陽系に彗星が入ってきた場合、その彗星の軌道が楕円軌道であればまた帰ってきます。
もし、放物線軌道や双曲線軌道の場合は帰ってきません。
で、観測するわけですが、この3種の曲線を、焦点に比較的近いところで完全に判定するのはなかなか大変なことなのです。
そういうことが見て取れますね。ほとんどおんなじでしょ。
物理的な用語になりますが、太陽から「無限遠」において速度が0になる場合「放物線軌道」になりますし、無限遠においてもなお速度が0でないなら、双曲線軌道になります。

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