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2013年2月12日 (火)

世界最大の素数を発見

★こんな記事がありました。

世界最大の素数を発見 1742万5170桁 米研究者
                  (朝日新聞 2013年2月7日16時28分)
 1742万5170桁という、現時点で最大の素数を米セントラルミズーリ大学の研究者が見つけた。世界各地のボランティアのコンピューターをつないで素数探しをするプロジェクト、GIMPSが発表した。
 素数は、1とその数自身でしか割り切れない2以上の自然数のことで、2、3、5、7、11、13、17……と続く。無限に存在することは証明されているが、どのように出現するのかは数学上の大きな謎だ。プロジェクトは「2を何乗かして1を引いた数」である整数(メルセンヌ数)から素数を見つける方法で、1996年から「最大の素数」探しを続けている。
 今回見つかったのは「2を5788万5161乗し、1を引いた数」で、08年に発見された「2を4311万2609乗し、1を引いた数(1297万8189桁)」を更新した。

Mersenne
こういう表記の方が見やすいでしょ。
このMが素数なんですね。

★記事中にもありますが、素数は無限に存在します。(背理法で簡単に証明できますが、省略)
じゃあなんで「世界最大の素数」なんだろう?
今回のは48番目のメルセンヌ数でして、これまでに知られている素数の中で最大なのです。
「GIMPS」は「 Great Internet Mersenne Prime Search  」の略称です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/GIMPS
から引用

GIMPS は Great Internet Mersenne Prime Search の略称。メルセンヌ素数の発見を目的として1996年に発足した。
分散型コンピューティングによって、参加者のコンピュータの余剰処理能力などを利用して解析、検証作業を行う。参加者は、インターネットから無料でダウンロードできるオープンソースソフトウェアを用いて解析の手助けをする。このプロジェクトは George Woltman によってソフトが作られ、開始された。Scott Kurowski が研究を手助けするサーバを稼動させている。
このプロジェクトはかなり成功しているといえる。14のメルセンヌ素数を発見し、そのうち12が発見時には最大のメルセンヌ素数であり、さらに発見されている素数の中でも最大のものである。現在発見されている最大のメルセンヌ素数は 2^57,885,161 − 1 である。
・・・
2013年1月25日
    Dr. Curtis Cooper が現在分かっている中では48番目のメルセンヌ素数、257,885,161 − 1 を発見。

こういうことなんですね。
http://www.isthe.com/chongo/tech/math/digit/m57885161/prime-c.html
↑ここで、途中省略ですが、この素数が見られます。
この途中省略リストの真ん中辺に、フルサイズのリストへのリンクがあります。

↓ここです。
http://www.isthe.com/chongo/tech/math/digit/m57885161/huge-prime-c.html
↑「22.45 Megabytes 」と書いてありました。巨大なファイルですので、気をつけて下さい。時間をかけてダウンロードしても、開けるかどうか、分かりませんよ。

★記念品として。
省略バージョンから、最初と最後だけコピーしてお目にかけます。

     581,887,266,232,246,442,175,100,212,113,232,368,636,370,
852,325,421,589,325,781,704,480,584,492,761,707,442,316,428,
281,349,423,376,942,979,071,335,489,886,655,517,752,224,731,
316,967,316,601,101,080,371,457,923,021,838,436,917,492,197,
333,394,648,729,851,218,665,756,323,673,512,565,202,964,097,
437,803,696,250,542,088,744,968,273,344,617,858,384,022,131,
920,787,583,935,917,496,283,612,402,707,082,209,797,985,800,
006,635,414,921,583,
・・・
297,159,409,961,364,527,227,095,084,236,325,465,587,196,186,
021,964,223,959,834,597,554,425,029,281,820,887,488,334,305,
329,294,282,242,708,622,122,281,397,257,639,235,936,242,739,
008,998,375,867,851,514,611,787,277,117,481,007,475,769,637,
027,213,910,738,552,270,680,363,266,487,889,306,634,188,196,
964,400,898,981,891,179,715,830,393,827,598,062,506,665,259,
086,044,516,822,494,937,745,410,942,833,323,095,203,705,645,
658,725,746,141,988,071,724,285,951

★ちょっと遊んでみましょう。
{計算はウィンドウズのアクセサリの「電卓」を使いました。「表示」から「関数電卓」にして頂くと、すごく高性能な電卓として使えます。}

●1 まずは「桁数」
{最後に1を引くのですが、そこは省略して}

log(2^57,885,161) = 57885161*log(2) = 17425169.764838853385919705333089

これで、桁数が分かります。
例えば
log(2013) = 3.3038437748886545119309763882555
で、整数部の「3」が10^3の「3」を示しています。
ですから、2013は「4桁の数」というわけですね。
ということ
Mは「17425169 + 1 =17425170」桁の数なのです。

●2 次に「頭」
小数部に着目します。
0.764838853385919705333089
これです。

上の2013の例でいうと
10^0.3038437748886545119309763882555
を計算するとどうなるか
10^0.3038437748886545119309763882555
   =2.0129999999999999999999999999979
電卓の誤差で9がやたらと並びましたが、基本的には2.013と丸めていいです。
そこで、
2.013×10^3=2013
なのですね。

では
10^0.764838853385919705333089
   =5.818872662322464421750997706372
計算誤差があるので、最後までは使えませんが、Mは581887・・・と始まる数であることが分かります。
省略版からコピーしたものの最初と比べてみましょう。

5818872662322464421750997706372(電卓での計算値)
581887266232246442175100,212,113,232,368,636,370,(本物のはじめ)

21桁あいましたね。
頭だけではありますが、巨大な数の姿を垣間見ることができました。

M = 5.8188・・・×10^17425169 - 1
こうなのです。

●3 では「末尾」
例から見て下さい
2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32
2^6=64
2^7=128
2^8=256
・・・
2のべき乗の数の末尾は「2,4,8,6」を繰り返していますね。
「べき」の数を4で割った余りが0、1,2,3に対応して末尾は6、2,4,8になります。

5788,5161 / 4 は14471290余り1
です。
ですから、2^57885161の末尾は2のはずです。
素数はこの数「-1」ですから

Mの末尾は1です
ホント?
・・・725,746,141,988,071,724,285,951
ほらね。

巨大な数の「桁数と頭と尻尾」を抑えることに成功しました。
{こういうのキセルっていうのかなぁ?}

めでたしメデタシ。

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