世界最大の素数を発見

★こんな記事がありました。

世界最大の素数を発見　１７４２万５１７０桁　米研究者
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（朝日新聞　2013年2月7日16時28分）
　１７４２万５１７０桁という、現時点で最大の素数を米セントラルミズーリ大学の研究者が見つけた。世界各地のボランティアのコンピューターをつないで素数探しをするプロジェクト、ＧＩＭＰＳが発表した。
　素数は、１とその数自身でしか割り切れない２以上の自然数のことで、２、３、５、７、１１、１３、１７……と続く。無限に存在することは証明されているが、どのように出現するのかは数学上の大きな謎だ。プロジェクトは「２を何乗かして１を引いた数」である整数（メルセンヌ数）から素数を見つける方法で、１９９６年から「最大の素数」探しを続けている。
　今回見つかったのは「２を５７８８万５１６１乗し、１を引いた数」で、０８年に発見された「２を４３１１万２６０９乗し、１を引いた数（１２９７万８１８９桁）」を更新した。

こういう表記の方が見やすいでしょ。
このＭが素数なんですね。

★記事中にもありますが、素数は無限に存在します。（背理法で簡単に証明できますが、省略）
じゃあなんで「世界最大の素数」なんだろう？
今回のは４８番目のメルセンヌ数でして、これまでに知られている素数の中で最大なのです。
「ＧＩＭＰＳ」は「 Great Internet Mersenne Prime Search  」の略称です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/GIMPS
から引用

GIMPS は Great Internet Mersenne Prime Search の略称。メルセンヌ素数の発見を目的として1996年に発足した。
分散型コンピューティングによって、参加者のコンピュータの余剰処理能力などを利用して解析、検証作業を行う。参加者は、インターネットから無料でダウンロードできるオープンソースソフトウェアを用いて解析の手助けをする。このプロジェクトは George Woltman によってソフトが作られ、開始された。Scott Kurowski が研究を手助けするサーバを稼動させている。
このプロジェクトはかなり成功しているといえる。14のメルセンヌ素数を発見し、そのうち12が発見時には最大のメルセンヌ素数であり、さらに発見されている素数の中でも最大のものである。現在発見されている最大のメルセンヌ素数は 2^57,885,161 − 1 である。
・・・
2013年1月25日
    Dr. Curtis Cooper が現在分かっている中では48番目のメルセンヌ素数、257,885,161 − 1 を発見。

こういうことなんですね。
http://www.isthe.com/chongo/tech/math/digit/m57885161/prime-c.html
↑ここで、途中省略ですが、この素数が見られます。
この途中省略リストの真ん中辺に、フルサイズのリストへのリンクがあります。

↓ここです。
http://www.isthe.com/chongo/tech/math/digit/m57885161/huge-prime-c.html
↑「22.45 Megabytes 」と書いてありました。巨大なファイルですので、気をつけて下さい。時間をかけてダウンロードしても、開けるかどうか、分かりませんよ。

★記念品として。
省略バージョンから、最初と最後だけコピーしてお目にかけます。

     581,887,266,232,246,442,175,100,212,113,232,368,636,370,
852,325,421,589,325,781,704,480,584,492,761,707,442,316,428,
281,349,423,376,942,979,071,335,489,886,655,517,752,224,731,
316,967,316,601,101,080,371,457,923,021,838,436,917,492,197,
333,394,648,729,851,218,665,756,323,673,512,565,202,964,097,
437,803,696,250,542,088,744,968,273,344,617,858,384,022,131,
920,787,583,935,917,496,283,612,402,707,082,209,797,985,800,
006,635,414,921,583,
・・・
297,159,409,961,364,527,227,095,084,236,325,465,587,196,186,
021,964,223,959,834,597,554,425,029,281,820,887,488,334,305,
329,294,282,242,708,622,122,281,397,257,639,235,936,242,739,
008,998,375,867,851,514,611,787,277,117,481,007,475,769,637,
027,213,910,738,552,270,680,363,266,487,889,306,634,188,196,
964,400,898,981,891,179,715,830,393,827,598,062,506,665,259,
086,044,516,822,494,937,745,410,942,833,323,095,203,705,645,
658,725,746,141,988,071,724,285,951

★ちょっと遊んでみましょう。
｛計算はウィンドウズのアクセサリの「電卓」を使いました。「表示」から「関数電卓」にして頂くと、すごく高性能な電卓として使えます。｝

●１　まずは「桁数」
｛最後に１を引くのですが、そこは省略して｝

log(2^57,885,161) = 57885161*log(2) = 17425169.764838853385919705333089

これで、桁数が分かります。
例えば
log(2013) = 3.3038437748886545119309763882555
で、整数部の「３」が１０＾３の「３」を示しています。
ですから、２０１３は「４桁の数」というわけですね。
ということ
、Ｍは「17425169 + 1 =17425170」桁の数なのです。

●２　次に「頭」
小数部に着目します。
0.764838853385919705333089
これです。

上の２０１３の例でいうと
10^0.3038437748886545119309763882555
を計算するとどうなるか
10^0.3038437748886545119309763882555
   =2.0129999999999999999999999999979
電卓の誤差で９がやたらと並びましたが、基本的には２．０１３と丸めていいです。
そこで、
２．０１３×１０＾３＝２０１３
なのですね。

では
10^0.764838853385919705333089
   =5.818872662322464421750997706372
計算誤差があるので、最後までは使えませんが、Ｍは５８１８８７・・・と始まる数であることが分かります。
省略版からコピーしたものの最初と比べてみましょう。

5818872662322464421750997706372（電卓での計算値）
581887266232246442175100,212,113,232,368,636,370,（本物のはじめ）

２１桁あいましたね。
頭だけではありますが、巨大な数の姿を垣間見ることができました。

M = 5.8188・・・×10^17425169 - 1
こうなのです。

●３　では「末尾」
例から見て下さい
２＾１＝２
２＾２＝４
２＾３＝８
２＾４＝１６
２＾５＝３２
２＾６＝６４
２＾７＝１２８
２＾８＝２５６
・・・
２のべき乗の数の末尾は「２，４，８，６」を繰り返していますね。
「べき」の数を４で割った余りが０、１，２，３に対応して末尾は６、２，４，８になります。

5788,5161 / 4　は14471290余り１
です。
ですから、2^57885161の末尾は２のはずです。
素数はこの数「－１」ですから

Ｍの末尾は１です。
ホント？
・・・725,746,141,988,071,724,285,951
ほらね。

巨大な数の「桁数と頭と尻尾」を抑えることに成功しました。
｛こういうのキセルっていうのかなぁ？｝

めでたしメデタシ。