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2013年1月16日 (水)

2種類の異なる箱が折れる展開図

★ここまで「立方体の展開図から四面体を折る」話をしてきました。
発端は数セミ、2012.11月号。上原隆平さんの「3通りの箱が折れる展開図」という記事でした。

「はじめに」という節見出しの下の「図1 典型的(?)な展開図」というところから、四面体を折り、そのカイラリティーの議論をしてしまったのでした。

★図2というのもありまして、それは
    図2:大きさ1×1×5の箱と1×2×3の箱が折れる展開図
なのです。
さっそく
Tenkaizu_zu2
上がその展開図です。面積22単位です。
単位正方形は任意です。作図・工作しやすい大きさで2枚描いて下さい。
で、下のa とb で、太線で描いたところに折り筋を入れます。
折り筋をつけるのに、私はペーパーナイフを使っていますが、カッターナイフの刃で軽く傷をつける、というのでももちろん構いません。

さて、折り筋通りに折りますと
a からは1×1×5の箱ができます。
b からは1×2×3の箱ができます。
Rittaizu2
こんな風に出来あがります。
ちょっとでこぼこしてますが、ご愛敬、勘弁して下さい。
なるほどねぇ、確かに異なる二つの箱ができました。
私などの想像を絶します。
ただ、いったん作ってみれば、展開図のどこがどうなって組み上がったのかは見えるようにはなります。

箱を展開する時、普通だと辺に沿って展開しますが、ここでの展開図のように面の中を切ることも許すのが一般的だそうです。

で、研究は続きまして

「一般性を持つ展開図」を見つけ、「二つの箱を折れる展開図」が理論上は無限に存在することを示すことに成功した。

のだそうです。
すごいなぁ。全くもって想像の「外」ですね。
この一般的な展開図はネット上で見ることができます。

http://www-erato.ist.hokudai.ac.jp/html/php/workshop_2011_summer/uehara.pdf
「複数の凸多面体が折れる展開図の研究」というpdfファイルです。
この中に
「定理[三谷・上原2008]複数の箱が折れる展開図は無限に存在する」
という表題の図があります。これが一般形です。

任意の正整数j,kの組に対して
大きさ
1×j×(k+5)の箱と
1×1×(2(j+1)(k+1)+3)の箱
が折れるそうです。

無限に存在するんですって。マッタク、まいった。
是非、リンク先のpdfファイルをお読みください。

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