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2012年12月 3日 (月)

鏡の話:9:余話8

★πや素数の乱数性
話がどこまで飛んでいくか、自分でも分かりません。全然、鏡とは無関係。

★パイ(π)は10兆桁まで計算されているそうですが。
小数点以下の各桁の数字の並びはランダムであることが期待されていますが、証明はされていません。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
ここから引用
5兆桁までの数字の出現回数は以下の通りで、ほぼ等しく出現している。最も多く出現するのは8である。
    0:4999億9897万6328回
    1:4999億9996万6055回
    2:5000億0070万5108回
    3:5000億0015万1332回
    4:5000億0026万8680回
    5:4999億9949万4448回
    6:4999億9893万6471回
    7:5000億0000万4756回
    8:5000億0121万8003回
    9:5000億0027万8819回

Pirnd
割合で見られるようにエクセルで書いてみました。
なるほど各数字の出現率はほぼ「0.1」ですね。

★メルセンヌ素数というのがありまして、自然数nに対して「(2^n)-1」が素数の時これをメルセンヌ素数と言います。

2004年5月15日、GIMPS は41番目の素数候補が発見されたことを発表した。検証後723万5733桁の数、2^24036583 − 1 が素数であることが確認された。

以前、この2004年だったか、見つかった当時最大のメルセンヌ素数をネットから入手したことがあります。
テキストエディタに読みこんで、頭っから、「0 を "" で置換する」(「""」はナル(null、ヌルと言う人もいます)「無い」という文字です。)ということをします。するとしばらく経ってから、「○○個を置換しました」というレポートが返ってきます。こんなやり方で、0~9の数字の出方をカウントしたことがあります。
これを授業通信に書いた記憶がありますが、手元に記録は残っていません。発掘すれば「下の方の層」から出てくるんでしょうが、ヤダ。
結果的には、ざっと見たところ、数字はほぼ均等に出現していました。偏りと言うほどのものはなかったな。

★と、ここまで書いて、もう一回やるかな、とネットで検索していたら、自分のホームページ「案山子庵雑記」がヒットしてしまいました。高校生向けに書いたものです、難しくはないので、ぜひお読みください。いろいろ対数を使って遊ぶ、というようなこともやっています。楽しめると思いますが↓
http://homepage3.nifty.com/kuebiko/science/freestdy/BigPrime.htm
「43番目のメルセンヌ素数」というタイトルです。

私ってすごいんだなぁ、と自分をほめてしまった。ナンダカネ。
ここにありました。

41番目のメルセンヌ素数では
 0:722613個 (0.09987)
 1:723188個 (0.09995)
 2:722754個 (0.09989)
 3:722181個 (0.09981)
 4:723758個 (0.10003)
 5:724196個 (0.10009)
 6:723856個 (0.10004)
 7:724543個 (0.10013)
 8:723551個 (0.10000)
 9:725093個 (0.10021)
-------------------------------
計:7235733個

43番目のメルセンヌ素数では
 0:913468個 (0.09981)
 1:914272個 (0.09990)
 2:916362個 (0.10013)
 3:913997個 (0.09987)
 4:914191個 (0.09989)
 5:916441個 (0.10014)
 6:915744個 (0.10006)
 7:915905個 (0.10008)
 8:916856個 (0.10018)
 9:914816個 (0.09996)
-------------------------------
計:9152052個

ほぼ、均等に出現しているということだけは分かります。
並び方なんかは全然分かりません。

というですから、巨大なメルセンヌ素数の一部を抜き出して「乱数」の代わりに使っても、大きな間違いは起こらないと思いますよ。ただし個人的な予想ですから、信頼しないでくださいね。

★参考
http://www.bunkyo.ac.jp/~nemoto/lecture/simulation/97/random/index.htm
大学の「乱数」という講義の内容です。

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