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2012年11月 5日 (月)

ピタゴラス数についていくつかの話題:1

★辺の長さが整数の直角三角形で、直角をはさんで短い方をx、長い方をy、斜辺をzと呼ぶことにしたときに、z-y=1であるようなものを求める方法があります。
x は3以上の奇数とします。
すると
y=(x*x-1)/2
z=(x*x+1)/2
こうおくと、 y も z も整数になり、x*x + y*y = z*zになります。
で、 z-y=1です。

これをエクセルのVBAでプログラムを書いて得た結果を下に載せます。

「PythaSa1.txt」をダウンロード

このファイルの終わりの方にプログラムがあります。
で、1列目がx、2列目がy、3列目がzです。
4列目に何やら数字が並んでいるのは「角度」を求めてみたのです。
(x/y)の値から角度を求めて書き込んでおきました。

3       4       5       36.86989765

3・4・5の場合、約37度だというのはそれなりに知られていると思います。
2・1・√3の三角定規の30度より少し大きな角度ですね。
あるいは、時計の「5分」の角度が30度。

差が1のまま、辺が長くなっていきますので、角度はどんどん小さくなっていきます。
このリストでは、x を999まで求めています。

999     499000  499001  0.114706227

(これ本当にピタゴラス数になってますか?)

それはそれとして、
499001/499000 = 1.000002004
ですって!もうほとんど二等辺三角形ですね。
開きは「0.1度」しかない。三角形には見えませんね、針ですね。

499000^2 は約2.5×10^11
もちろん
499001^2 も約2.5×10^11
これ、面積「2500億」です。
その差である 999^2 は約1×10^6 、「100万」です。
400万分の1の面積しかない。
人間の生活スケールでいうと、ゴミみたいに小さな値ですね。

これでも「直角三角形」なのでした。

★太陽と月は「見かけの大きさ」がほぼ等しい。そのために時々日食が見られるわけですが、その「見かけの大きさ」はどのくらいでしょう?

地球から太陽まで約1億5千万km。太陽の半径は約70万km。
「約1/4度(0.25度)」、と頭の中に入っています。(15分ともいいますが)
リストからそのあたりを探すと

455     103512  103513  0.251849175
457     104424  104425  0.250746994

このくらいで0.25度ですね。

10万を1500倍すると「1億5千万」
455を1500倍すると「68万=約70万」
合ってますね。当たり前ですが。

何だかなぁ、宇宙にピタゴラス三角形を描くのもスケールでかくて、いい気分だなぁ。
宇宙は閉じている、というようなスケールの話では宇宙空間でユークリッド幾何学は成立しないのでしょうが、太陽系内のスケールなら、ユークリッド幾何学が十分に成立します。
{ただし太陽近傍などでは、空間のゆがみで光が曲がってりしますけどね。}

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