虚数（その２）

図中、複素平面上のＡ点は（ａ＋ｂｉ）という複素数です。
これに「ｉ をかける」と９０度回って、Ｂ点に移ります。
計算は図中に書いておきました。
さらに、もう一回「ｉ をかける」と、Ｃ点（－ａ－ｂｉ）に移ります。
Ｂからは９０度ですが、最初のＡからは１８０度回りました。
１８０度回るのは「－１をかける」操作。（ａ＋ｂｉ）に「－１」をかければ、確かにＣ点に移りますね。
そして
（ａ＋ｂｉ）＋（－ａ－ｂｉ）＝０
ですので、逆元の関係にありますね。
「－１をかける」という操作は、数直線上でも、数平面上でも「逆元へ移行する」操作であることは同じなのです。
２回「ｉ をかける」操作＝「－１をかける」操作。
したがって
ｉ×ｉ＝－１
なのですね。

★質問！
２回「－１」をかけると、３６０度回って、元に戻ってくる。
４回「　ｉ」  をかけると、３６０度回って、元に戻ってくる。
じゃあ、３回かけたら３６０度回って元に戻ってくる、という操作はないんですか？

あります。

原点を中心として、３６０度を３等分する角度ならいいのです。
１から出発して３回かけると戻ってきますね。
これは
ｘ＾３－１＝０
という３次方程式の解なのです。

ですね。
この数は有名で「ω（オメガ）」という記号までもらっています。

複素平面上では、１を頂点とする正ｎ角形を描くと、ｘ＾ｎ－１＝０ のｎ個の解が描けるんですね。
個別に名前を与える必要はありません。
実数と虚数の「複合した」数ですべて表すことができるからです。

★今回のお話はここまで。
複素数の四則演算やその他諸々、について立ち入ることはしません。
ただ、複素数では、掛け算に「回転」が入ってくることを頭の隅っこに入れておいていただくといいかな。なにかと。