マイナスの数×マイナスの数はプラスの数

★テキスト・エディタで書き始めてみて、「ｘ (エックス)」と「× (かける)」が極めて識別しづらいので、ちょっと変則的な書き方にしました。

ワードを使って、英数小文字はSMPLX martini というフォントで、全角文字はＭＳゴシックで書きました。
これだと「ｘ」と「×」は区別できます。
その文書をコピーしてペイントに貼り付けますと、画像として保存できます。

その画像を下に置きますので、クリックして読んで下さい。

公理から出発して、逆元の存在が一意（unique）であることに帰着させただけです。
「意味」のほとんどない、乾燥した論理になっていると思いますが。
自分で読みなおした限りでは論理ミスはしていないつもりですが、私の論理力は甘いからなぁ。
これを全面的に信用したり、このままで引用しないで下さい。
引用する時はご自分で証明をやりなおしてからにして下さい。

やはり、視覚的・操作的に理解すれば充分だと思いますね、我々非数学的人間は。

★

⑤この集まりに属する０でないどのｘについても
ｘ＋ａ＝ａ＋ｘ＝０を満たす数がこの集まりに中にただ一つ存在する。このａをｘの逆元と呼び「－ｘ」記す。

こういう記述がありますね。これが負の世界の定義そのものです。
特に、なんだかんだと意味を考える必要はないのです。

原点の向こう側の世界に、自分（ある数）の「像」が１つあって１つに限る。ということです。
その「像」へ移行する操作が「－１をかける」という操作なのですね。

一応その数に「－ｘ」という記号を与えますが、別に、どんな記号でもよかったのだし、名前も「マイナス」という「マイナス・イメージ」の言葉である必要もないのです。
言葉の意味に過度にとらわれずに、やり過ごして下さい。
数学というのはそういう乾燥した居心地の良い世界なのですから。