算術平均 ≧ 幾何平均

★タイトルをご覧になって、ムッとしてませんか。まぁ、気を落ち着けて読んで見て下さい。
高校数学で習うのですよね、算術平均 ≧ 幾何平均　というやつ。
（ａ＋ｂ）／２　≧　√（ａｂ）　というあれ。
左辺を算術平均（相加平均）といい、右辺を幾何平均（相乗平均）といいます。
普通は、「平均」といえば算術平均です。ただ、成長率とか、経済的なところでは幾何平均も使われていますが、あまり意識されていないですね。

単純に言えば、算術平均は２本の棒の長さの中間、ですね。
幾何平均は、長方形の面積を変えずに正方形に変形した時の正方形の一辺、ですね。

★ところで、１０月８日（月）付で、「平方根（ルート、√）の作図」という記事を書きました。
http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2012/10/post-7cfb.html
この中で、「ちょっと面白い作図をご紹介しましょう」といって、「作図可能な任意の数」の平方根を作図する方法を書きました。
あの図を、自分で眺めていて、「そう、面白い話があったっけ」と思い出しましたので追記します。
あの図の方法を使って「算術平均 ≧ 幾何平均」を証明してしまおうというのです。
数学の授業でオーソドックスな証明を学んだかもしれません。さして難しい証明ではないですけどね。
大小関係は自乗しても変わらないので、不等式の両辺を自乗して、差をとり、計算すると、（（ａ－ｂ）＾２）／４の形になり、自乗はゼロまたは正ですので、証明終わり、と。

★これを視覚的にやってみましょう。

これだけ。
ＰＤ＝√（ａｂ）になっているというところに、平方根の作図の相似関係を使っていますが、めんどくさいのでここには書きません。（△ＤＡＰと△ＢＤＰが相似です。）

直感的にＯＣはＰＤより大きいですから、証明終わり。っと。
「明らか」なんて言葉を数学で見かけて「どこが？」とムッとすることはよくありますけどね。
明らかでしょ。

直感的には「明らか」だけど、ホントに直感だけでいいの？という向きには
図の右下。ｓｉｎが１より小さいことを使えばいいでしょう。

というわけでした。

★別の、面白い証明も思い出してしまった。

これだけ。
「４畳半」みたいな図ですが、図の右に書き込んだ証明でお分かり頂けるでしょう。
全体の正方形の面積＝（ａ＋ｂ）＾２　は、部分である４枚の長方形の面積の和＝４ａｂ　より大きい、ということを使っています。
等号が成立するのはａ＝ｂのときのみ、というのも明白ですね。ａとｂが等しいと、真ん中の斜線部分が消えてしまいますね。
数学って、分かり切ったようなことをうまく使うものです。

★ところで、思考が飛んで歩いて。ピタゴラスの定理の証明を思い出しました。
｛似てないですけどね。なんだか記憶がむずむむずしました。｝

全体の正方形の面積から、４枚の直角三角形の面積を引くと、中の斜めの正方形の面積になる、ということを書き表しただけです。
証明終わり。
面積を移動させるオーソドックスな方法は、実に見事な方法だと思いますが、直観的に明白、というのもいいでしょ。

★別件：ピタゴラスの定理でまた思考が飛び回っていまして、ピタゴラス数を網羅的に作るというのを、そのうちお目にかけます。それなりに面白いはずです。