原子炉事故で放出された放射性物質の質量について：２

★ウィキペディア「半減期」から引用します。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E6%B8%9B%E6%9C%9F

　半減期（はんげんき、Half-life）は、放射性核種あるいは素粒子が崩壊して別の核種あるいは素粒子に変わるとき、元の核種あるいは素粒子の半分が崩壊する期間を言う。これは核種あるいは素粒子の安定度を示す値でもあり、半減期が短ければ短いほど不安定な核種または素粒子ということになる。放射性核種あるいは素粒子の崩壊は自然に起きる物で、崩壊までの期間は確率によってのみ左右される。一つの放射性核種あるいは素粒子を対象として、その放射性核種あるいは素粒子がいつ崩壊するかを予想することは出来ない。
　同じ放射性核種であれば、すべての原子核がある時間内に崩壊する確率は等しい。何百万かの原子核で構成されるサンプルをつくると、崩壊する確率に応じて一定の速度で内部の原子核が崩壊をしていくことになる。この速度を言い換えた値が半減期であり、はじめに存在した状態の半分が崩壊するまでにかかる時間のことである。

★確率的な出来事なんですね、壊変・崩壊という出来事は。ものすごく多数の原子核を対象にした時に初めて議論ができるようになります。

★さて、ある時点での放射性核種の壊変速度はその時点での原子数に比例する、というのが最も基本的な関係です。
これを式にすると
式①
こうなります。
式①の
左辺は壊変速度で、減っていくのでマイナスにしてあります。
右辺のＮは原子数。λが比例定数で「壊変定数」といいます。
λはそれぞれの放射性核種に固有の定数ですが、直接測定される量ではない。
直接測定される量は「半減期」のほうですね。

半減期をＴで表し、原子数を「時刻ｔにおける」という意味を強調してＮｔと書くと
式②
こうなります。
「ｌｎ２」というのは「２の自然対数」といい、｛意味はここでは省略しますが｝値は０．６９３・・・です。
ある量の変化のスピードがその量の現在の大きさに比例する、というできごとは自然界でよくであうものでして、そのとき、その量は指数関数で表されることになります。それについては↓
http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2010/03/post-d035.html
2010年3月 4日 (木)　「放射性炭素年代測定法」
http://yamada-kuebiko.cocolog-nifty.com/blog/2010/03/post-0ecd.html
2010年3月 8日 (月)　「半減期」
などをご覧ください。グラフも入っています。
｛λとＴの関係の導き方は付録を書くつもりです。｝

★さて、原子集団の質量と、その集団の原子数の関係は簡単。（高校化学の範囲）
原子量Ｍに「ｇ」をつけた質量の原子集団は、１ｍｏｌ（＝６×１０＾２３）という個数の集団です。この数をＮＡ（アボガドロ数）といいます。
｛厳密には「アボガドロ定数」という言葉を使い、意味が少し変わりますが、ここでは無視。｝
時刻ｔにおいてｍｔ［ｇ］の原子集団があり、それを構成する原子数がＮｔとしますと
これは、単なる比例関係ですから
式③
こうなります。

さて、式②の左辺は時刻ｔにおける壊変速度ですから、これがベクレル（Ｂｑ）単位で測定される量です。１秒間に１つの原子が壊れて放射線を出す、これが１Ｂｑです。
ここでは「ｎ　Ｂｑ」としましょう。これを左辺とし、右辺のＮｔに③式を代入してまとめると
式④
こうなりますね。

基本的にはこれでおしまいですが、ｍｔを求める式に書き換えておきましょう。
式⑤

ＮＡを数値に置き換えたのが最後の式です。
これと前に引用したリカタンの式を比べてください。

１Ｂｑの放射性物質の質量は、
　（質量数）×（秒で表した半減期）×２．４×１０＾２４
　で求められる。

式⑤でｎ＝１とし、Ｍは原子量ですが同位体の質量数でいいわけですし、Ｔは半減期ですが、単位を揃えるには秒で表示すればいいですね。

！！ほら、式が導き出されましたよ！！

理科になじみ深い人には、リカタン的表記より式⑤のほうがすっきりしてると思いますがいかがでしょうか。（自画自賛。ＮＨＫの「フック・ブック・ロー」的には「爺が自賛」。）

★ではこの式⑤を使ってみましょう。
リカタンでは

福島第一原子力発電所からは合計で１．５×１０＾１６Ｂｑのセシウム１３７が放出されたという試算がある。

と言っていますから
ｎ＝１．５×１０＾１６Ｂｑ
Ｍ＝１３７
Ｔ＝３０年＝９．４６×１０＾８秒

ｍｔ＝（１．５×１０＾１６）×１３７×（９．４６×１０＾８）×（２．４×１０＾（－２４））
　　≒４６７０ｇ≒４．７ｋｇ

ナルホド、約５ｋｇですね。
なっとくです。