地震のマグニチュードとエネルギー

◆今年はハイチ、チリと大きな地震が続いています。
新聞記事の中に、マグニチュードとエネルギーの関係について言及している部分を散見します。

２０１０．２．２８
・南米チリをマグニチュード（Ｍ）８．８の大地震が襲った。
・世紀前のチリ地震はマグニチュード（Ｍ）９．５
・今回の地震のエネルギーは、前回のチリ地震の１０分の１以下とみられるが・・・

２０１０．３．１
・今回の地震の規模はマグニチュード（Ｍ）８．８。阪神大震災よりはるかに大きいとはいえ、５０年前のチリ地震のＭ９．５に比べてエネルギーは約１０分の１程度だった。
・Ｍが０．２上がれば地震のエネルギーは約２倍になる。

◆私たちは普通、何かの量のスケールを見ると、「比例」的に見たくなります。
　グラフに表したときに、グラフの原点を通れば正比例ですが、正比例でなくても、直線的なグラフのイメージが最もポピュラーだと思います。つまり、横軸の量の等間隔の変化に対して、縦軸の量も等間隔で変化しているように感じます。
　ところが、上にあげたように、どうも、地震のマグニチュードとエネルギーの関係は直線的ではないらしい。
　新聞などに書いてあれば「そうなんだ」と思うしかありませんが、その仕組みを知っておいてもいいと思うのです。その上で、マスコミにあらわれる数字をみれば、ただ何も分からずに信じ込むよりはよいでしょう。
　そのお手伝いをしたいと思います。

◆２０１０年版理科年表の地学部１３４（７００）ページには
　　　　４．地震の規模とエネルギーの関係（Gutenberg-Richter）
　　　　　　　　　　logE = 4.8 + 1.5M
　　　　　　　　　　　　　ただし、Ｅ：地震波として出されたエネルギー（単位はＪ）
こういう記述があります。

ここで「ｌｏｇ」というのは常用対数というものです。
数学は嫌だなと、お思いでしょう。深入りする必要はありません。
ｌｏｇ１０＝１
ｌｏｇ２０＝１．３
ｌｏｇ３０＝１．５
・・・
ｌｏｇ１００＝２
ｌｏｇ２００＝２．３
ｌｏｇ３００＝２．５
・・・
ｌｏｇ１０００＝３
ｌｏｇ２０００＝３．３
ｌｏｇ３０００＝３．５
・・・
ｌｏｇ１００００＝４
・・・
あれっと思いませんか？
大雑把な話、ｌｏｇの働きは「桁をとりだす」という働きなのです。

おそらく、高校化学で「ｐＨ」というものを学んだと思います。水素イオンの濃度が非常に薄い範囲での濃度を議論したいのですが、いっつも、小数点以下５桁も６桁も下から数字が始まるのはうっとうしい。ですから、何桁目から数字が出てくるのか、という小数点以下の桁を示すことにしたのです。そのためにｌｏｇが使われています。

ｌｏｇというのはそんなものだ、と簡単に考えておいてください。
｛ｌｏｇ１｝
数学的には上の二つの式は全く同じことを表現しています。

◆ここで、ちょっと一連の式を並べておきますが、片目をつぶっておいてください。まともに見なくていいです。

ここでの①式が理科年表に出ていた式です。
これを、上で数学的に同じですよ、といった形に書きかえると②式になります。
１０の右肩の上のカッコを開いて、定数部分はこれからの話にはどうでもいいので、Ｃという文字にしてしまうと③式になります。
地震１と地震２で、エネルギーとマグニチュードをそれぞれ、Ｅ１、Ｍ１とＥ２、Ｍ２とすると④式、⑤式になります。
地震２のエネルギーは地震１のエネルギーの何倍かを求めるために、Ｅ２をＥ１で割ります。そうすると⑥式になります。

ここで、かなりのことが分かりますね。
Ｍ２－Ｍ１＝１なら、エネルギーは「１０の１．５乗倍」ですね。電卓でストレートに求めてもいいです。
１０の１．５乗＝３１．６
マグニチュードが１大きくなると、エネルギーは約３０倍になるんですね。
｛１．５というのは３÷２ですから、１０の１．５乗＝（１０の３乗）の平方根＝√（１０００）＝３１．６とも求まります。｝

いちいち電卓をたたくのは面倒なので、⑦式の形でエクセルに計算させてグラフを作ってみました。ご覧ください。

横軸はマグニチュード（Ｍ）の差です。１大きくなるところまでをグラフ化してみました。
縦軸はエネルギー（Ｅ）が何倍になるかの数値です。

Ｍが１増えると、Ｅは約３０倍になる。

Ｍが０．２増えると、Ｅが２倍になるのが読み取れますね。記事の「Ｍが０．２上がれば地震のエネルギーは約２倍になる。」ですね。

Ｍが０．７増えると、Ｅが約１０倍（１１くらいですけれどね）になります。逆にＭが０．７少なければエネルギーは約１０分の１です。これが、「今回の地震の規模はマグニチュード（Ｍ）８．８。阪神大震災よりはるかに大きいとはいえ、５０年前のチリ地震のＭ９．５に比べてエネルギーは約１０分の１程度だった」ということです。

「阪神大震災よりはるかに大きい」という部分はどうなっているでしょう。
１９９５．１．１７の阪神大震災のマグニチュードは７．３とされています。
８．８－７．３＝１．５
これでは上のグラフからは読み取れませんね。

このグラフを使って下さい。マグニチュードが２増えるとエネルギーは１０００倍になります。
横軸のＭの差が１．５だと、縦軸の方は１５０と２００の間にありますね。約２００倍といってもいいでしょう。
「２００倍」なら確かに「はるかに」大きいですね。

◆
１９２３．９．１の関東大震災がマグニチュード７．９
２００８．５．１２の四川の大地震がマグニチュード８．１
２０１０．１．１２のハイチの大地震がマグニチュード７．０
とされています。
どの程度のエネルギー量の違いがあるか、グラフを活用して読み取ってみてください。
グラフをうまく使うと色々な情報を読み取ることができます。