視半径

2009年07月18日（土）付 の朝日新聞「天声人語」の一部です。
　・・・

　

月の４００倍の直径を持つ太陽が、約４００倍のかなたにある。この奇跡が二つの球体の見かけの大きさをそろえ、月が日にぴたりと重なる時が巡り来る。創造主からの贈り物と言われるゆえんだ。
　・・・

こんな表現を、今回、何回も見かけました。
ここでは、これにかかわる話をしましょう。
データは理科年表を参照しています。

◆
   月の赤道半径＝     １７３８ｋｍ
太陽の赤道半径＝６９６０００ｋｍ

696000/1738 = 400

なるほど、４００倍大きい。

   月の軌道の長半径＝         ３８，４４００ｋｍ
地球の軌道の長半径＝１，４９６０，００００ｋｍ

149600000/384400 = 389

なるほど、約４００倍遠いですね。

◆図１を見てください。
△ＡＢＣと△Ａ'Ｂ'Ｃ'があります。
∠ＡＣＢ＝∠Ａ'Ｃ'Ｂ'＝直角　とします。
便宜的に、ＡＣ＝ａ、ＢＣ＝ｂ　とします。
また、Ａ'Ｃ'＝４００ａ、Ｂ'Ｃ'＝４００ｂ　とします。（図形の実際の大きさの比は４００なんて全く無視していますが話の進め方には問題ありません。）

これが、「４００倍大きなものが、４００倍遠いところにある」という言葉の内容ですね。

すると
ＡＣ：ＢＣ＝Ａ'Ｃ'：Ｂ'Ｃ'＝ａ：ｂ　であり
∠ＡＣＢ＝∠Ａ'Ｃ'Ｂ'
ですから

△ＡＢＣ∽（相似）△Ａ'Ｂ'Ｃ'　となります。
二つの三角形が相似ですから
∠ＢＡＣ＝∠Ｂ'Ａ'Ｃ'
となります。

そうすると
左の図２のように、二つの三角形を重ねることができて
Ａ（Ａ'）のところに眼を置くと、ＢＣとＢ'Ｃ'が重なってしまって角度的に同じ大きさになるのです。

お分かりと思いますが、皆既日食の場合、ＢＣが月の半径、Ｂ'Ｃ'が太陽の半径ということになります。
というわけで、「４００倍大きなものが、４００倍遠いところにある」と「月が日にぴたりと重なる」という言葉の正当性は、このように三角形の相似、という形できちっと裏付けられるのですね。

感覚的には納得しますが、ホント？と確かめてみるのも無駄ではないでしょう。
数学って生活に役立つんですねぇ

◆実際のところ、∠ＢＡＣ＝∠Ｂ'Ａ'Ｃ'はどのくらいの大きさの角度なのでしょうか？

この図３を見てください。天体の実際の大きさではなく、天体を見る角度で大きさを議論するのですね。
図３の中のθを「視半径」といいます。

月について
ｔａｎθ＝１７３８／３８４４００＝０．００４５２１
です。
タンジェントが求まればアークタンジェントという関数で角度が求まりますね。
ａｒｃｔａｎ（０．００４５２１）＝０．００４５２１
あれ？！タンジェントの値と角度の値が同じになっちゃった。いいのかな？

高校数学で極限を学ぶと、θ→０のとき、（（ｓｉｎθ）／θ）→１　というのを習ったと思います。
（ｔａｎθ）／θ＝（ｓｉｎθ）／（（ｃｏｓθ）・θ）＝（１／ｃｏｓθ）（（ｓｉｎθ）／θ）
ここでθ→０のとき、前のカッコ内は１に近づき、後ろのカッコ内も１に近づきますので
結局、θ→０のとき、ｔａｎθ＝θになってしまうのですね。

ただし、これは角度をラジアンではかっている時のことです。これではピンときませんから
度にしてみましょう。
ラジアンを度に換算するには、（１８０／π）という値をかけてやればいいのです。
０．００４５２１×（１８０／π）＝０．２５９０度　です。
１度の約１／４位ですね。
ちゃんというと、１５分３２秒くらいです。これが月の視半径。

太陽はというと、
ｔａｎθ＝６９６０００／１４９６０００００＝０．００４６５２
θ＝０．００４６５２ｒａｄ＝０．２６６５度＝１５分５９秒　これが太陽の視半径。

視半径がほぼ同じですから、「太陽と月の見かけの大きさはほぼ同じ」で、重なることがあれば、月が太陽を隠すことができるわけです。
これが日食なのです。

ところで、
針式の時計の一目盛は６度です。
ですから、月や太陽の視半径は時計の一目盛のさらに２４分の１という角度なんですね。

１円玉の半径は１ｃｍです。２ｍ＝２００ｃｍ先に置いた１円玉の視半径は１７分１１秒くらいです。ですから
太陽や月は２ｍ先の１円玉よりもう少し小さいくらいなのですね。