等角ラセン

◆前回の記事で「対数ラセン」で巻き貝のシミュレーションをしました。

指数の形で書いてあったのになぜ「対数」ラセン？とお考えの方は鋭い。

こういう風に対数で表現することもできるからです。

「ｌｎ」は自然対数といいます。

◆さて、この式で表現されるラセンですが、等角ラセンともいいます。何が「等角」なのでしょう？

原点に灯火があるとします。曲線の左端から蛾が飛んできます。

蛾の飛跡がこの曲線になるのですね。

蛾は、灯火を見込む角度を一定に保ちながら飛行するのです。そうすると自然にこのラセンを描くことになります。

別な言い方をすると

ラセンの中心から直線を引き、ラセンと交わった点で接線を引きます。すると、曲線上のどこであっても、中心からの線と、接線のなす角度が一定なのです。

ですから「等角」ラセンなのですね。

蛾の場合、別に灯火に飛び込むことが本来の目的で、灯火を見込む角度が一定の飛び方をするのではないでしょう。

おそらく、月夜に飛ぶ時に、月を見込む角度が一定であるように飛べば水平に飛べるのです。カブトムシなどもきっとそうでしょう。

地上でいくら飛んでも、月の角度が変わるわけじゃないですからね。

そういう性質があだとなって、人間が火を灯すと、そこへ飛び込んでしまわざるを得なかったのでしょう。かわいそうなことです。

「飛んで火に入る夏の虫」というのはみんな等角ラセンを描くのだと思います。

◆ミツバチは、蜜のありかを他のハチからダンスで教わって飛びだしてきますが、その時、太陽との角度を知らされていますので、太陽を見込む角度を一定にして飛べばえさ場に近くに行けます。実際に近くに到達して花を見つけると、今度はその花を見込む角度を一定にとって花へ接近していくのだそうです。すると、やはり等角ラセンを描いて花に接近することになりますね。

こんなところにも数学が役立ちました。面白いですね。不思議ですね。

◆前回、今回の記事で、下の本を参考にしています。よろしかったら探してお読みください。

●知りたいサイエンス「生き物たちのエレガントな数学」　

上村文隆 著、技術評論社、平成19年10月刊

●「「理科」「数学」が好きになる　楽しい数理実験」

高木　隆司 著、講談社サイエンティフィク、2008年6月刊